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切线与割线

预备知识 极限

   如图一,在一段光滑曲线上任取两点,过这两点做直线,就是曲线过 $A$ 点与 $B$ 点的割线(当然直线与曲线还可以有其他交点).

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图1:割线

   当 $A$, $B$ 两点逐渐向 $C$ 点靠近,割线的位置逐渐趋于不变,割线位置的极限就叫做曲线在 $C$ 点的切线.

   以上对切线的定义中,假设在 $A$, $B$ 两点靠近 $C$ 点的过程中,割线位置的极限存在.如果这个极限不存在,那么 $C$ 点没有极限.下面举一个简单的例子说明.

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图2:割线的极限是切线

   例如要求正方形一角的切线,用 $A$, $B$ 两点接近 $C$ 点,则无论 $AB$ 点 有多么靠近 $C$, 切线的位置还要 取决于 $AB$ 点的具体位置(如右图) 若 $B$ 更接近 $C$, 则直线就更接近竖直 方向.反之直线就更接近水平方向.

   而真正的极限,只取决于点 $A$, $B$ 都 趋于点 $C$ 的事实,而不要求它们谁 更趋近.所以这个极限不存在.

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