图

全微分

预备知识 偏导数

   以二元函数为例,在偏微分的几何意义中,若 $z = f(x,y)$ 在某点 $(x_0, y_0)$ 附近的曲面光滑1,那么如果考虑一个足够小的区域,可以把曲面近似为平面.设平面方程为

\begin{equation} z = c_0 + c_x(x - x_0) + c_y(y - y_0) \end{equation}
当 $x=x_0$, $y=y_0$ 时显然有 $c_0 = f(x_0, y_0)$,求两个偏导,又有
\begin{equation} c_x = \frac{\partial f}{\partial x} \qquad c_y = \frac{\partial f}{\partial y} \end{equation}
令坐标增量为 $\Delta x \equiv x - x_0$, $\Delta y \equiv y - y_0$, $\Delta z \equiv z - c_0$,则平面方程变为
\begin{equation} \Delta z = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y \end{equation}
令增量为无穷小,即
\begin{equation} \,\mathrm{d}{z} = \frac{\partial f}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
这就是全微分关系.全微分的意义是,从某一点开始向任意方向移动 $( \,\mathrm{d}{x} , \,\mathrm{d}{y} )$,函数的增量等于只向 $x$ 方向移动 $ \,\mathrm{d}{x} $ 的增量加上只向 $y$ 方向移动 $ \,\mathrm{d}{y} $ 的增量.类似地, $N$ 元函数的全微分关系为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{z} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \end{equation}
事实上,偏微分也可以理解为是由该式定义的.

全微分近似

   类比一元函数的微分近似 $\Delta y \approx \mathrm{d}{f}/\mathrm{d}{x} \cdot \Delta x$, 若 $N$ 元函数各个变量的一阶偏导在一小块区域内变化不大,那么函数值的变化可近似为

\begin{equation} \begin{aligned} \Delta z &= f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_N + \Delta x_N) - f(x_1, \dots, x_N) \\ &\approx \frac{\partial f}{\partial x_1} \Delta {x_1} +\ldots + \frac{\partial f}{\partial x_N} \Delta {x_N} \end{aligned} \end{equation}

例1 测量误差

   测量一个边长各不相同的长方体的体积,若三边的测量值和最大测量误差分别为 $a, \sigma_a, b, \sigma_b, c, \sigma_c$ (假设不确定度远小于边长),求体积的最大测量误差 $\sigma_V$ 及最大相对误差 $\sigma_V/V$.

   类比“一元函数微分”中的例 1 , 长方体的体积为 $V(a,b,c) = abc$, 由全微分近似得

\begin{equation} \sigma_V \approx \frac{\partial V}{\partial a} \sigma_a + \frac{\partial V}{\partial b} \sigma_b + \frac{\partial V}{\partial c} \sigma_c = bc \sigma_a + ac \sigma_b + ab \sigma_c \end{equation}
相对不确定度为
\begin{equation} \frac{\sigma_V}{V} \approx \frac{\sigma_a}{a} + \frac{\sigma_b}{b} + \frac{\sigma_c}{c} \end{equation}


1. 光滑的数学定义是,各一阶偏导数在区域内连续.

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