图

几种含时微扰

\begin{equation} S = \frac{1}{\I\hbar} \int_{-\infty}^{+\infty} \mel{f}{\Q H'(t)}{i} \E^{\I\omega_{fi}} \dd{t} \end{equation}
当 $\mel{f}{H'(t)}{i} = W_{fi} g(t)$ 时
\begin{equation} P_{fi} = \abs{S}^2 = \frac{\abs{W_{fi}}^2}{\hbar^2} \abs{\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \E^{\I\omega_{fi} t} \dd{t}}^2 \end{equation}

瞬时脉冲 $g(t) = \delta(t-t_0)$

\begin{equation} \abs{\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \E^{\I\omega_{fi} t} \dd{t}}^2 = \abs{\int_{t_0-\epsilon}^{t_0+\epsilon} \delta(t-t_0) \E^{\I\omega_{fi} t} \dd{t}}^2 = 1 \end{equation}
代入得
\begin{equation} P_{fi} = \frac{\abs{W_{fi}}^2}{\hbar^2} \end{equation}

方形脉冲 $g(t)$(从 $t=t_1$ 到 $t=t_2$)

\begin{equation}\begin{aligned} \abs{\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \E^{\I\omega_{fi}t} \dd{t}}^2 &= \abs{\int_{t_1}^{t_2} \E^{\I\omega_{fi}t} \dd{t}}^2 = \abs{\frac{\E^{\I\omega_{fi}t_2} - \E^{\I\omega_{fi}t_1}}{\I\omega_{fi}}}^2\\ &= \frac{\sin^2[\omega_{fi}(t_2-t_1)/2]}{[\omega_{fi}(t_2-t_1)/2]^2} (t_2-t_1)^2 \\ &= \Delta t^2 \sinc^2[\omega_{fi}\Delta t/2] \end{aligned}\end{equation}
概率为
\begin{equation} P_{fi} = \frac{\abs{W_{fi}}^2}{\hbar^2} \Delta t^2 \sinc^2[\omega_{fi}\Delta t/2] \end{equation}
于瞬时脉冲相比,主要跃迁到附近的 $E_2$ 能级.且时间越长能量变化越小.

简谐振动 $g(t)= \E^{\I\omega t}$

   与上面的推导类似,结果为

\begin{equation} P_{fi} = \frac{\abs{W_{fi}}^2}{\hbar^2} \Delta t^2 \sinc^2[(\omega_{fi}+\omega)\Delta t/2] \end{equation}
这说明,跃迁倾向于增加能量 $\hbar\omega$,时间越长,就越靠近 $\hbar\omega$.要注意真实的简谐微扰往往是 $\cosRound{\omega t}$, 分解为两项积分后,会有干涉效应,结果较为复杂.但若 $\omega \gg \omega_{fi}$ 时可以忽略干涉项.

   考虑当 $\Delta t$ 非常大的情况,这时 $\sinc^2$ 函数可以看做 $\delta$ 函数.由 Mathematica 得

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \sinc^2(x) \dd{x} = \pi \end{equation}

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