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对称矩阵的本征问题

预备知识 对称矩阵, 矩阵的本征方程

   在物理中, 我们遇到的本征问题中的矩阵往往是对称矩阵或厄米矩阵. 我们下面来证明 $N$ 维对称矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 存在 $N$ 个两两正交归一的本征矢 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \dots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _N$, 且本征值都是实数. 另外, 本征矢一般用实数表示, 但也可以乘以一个任意复数.

证明本征值为实数

   本征方程为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
我们先假设本征值和本征矢都可能是复数, 将本征方程左边乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
将等式两边取厄米共轭(注意矢量也可以看成矩阵), 由式 3 式 2 可得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i^* \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
对比两式, 得 $\lambda_i = \lambda_i^*$, 所以 $\lambda_i$ 必为实数.

   将本征方程记为

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} - \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{I}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
就会发现这是一个实系数的齐次方程组, 所以必然能把所有线性无关的解都用实数矢量表示. 但注意把任意解 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 乘以一个任意复数, 同样也是方程的解.

证明本征矢的正交性

   简并空间内, 我们可以认为地指定正交归一基底, 所以只需要证明不同本征值对应的本征矢正交即可.

\begin{equation} s = \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2) = \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} (\lambda_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2) = \lambda_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \end{equation}
使用矩阵乘法结合律式 18 以及式 3
\begin{equation} s = ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1) ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = \lambda_1^* \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = \lambda_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \end{equation}
以上两矢相等, 因为 $\lambda_1 \ne \lambda_2$, 所以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = 0$.

   事实上, 厄米矩阵也可以定义为满足

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^{\mathrm{T}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2) = ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1) ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \end{equation}
的矩阵.

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