图

堆放排列组合

   比热力学课本上简单得多的方法推导出这种排列组合来.

   题目是这样的,

   如果有 $n$ 个不加区分的小球, 有 $N$ 个有编号的盒子( $N \geqslant n$ ), 那么把所有小球都放到盒子里有几种方法(每个盒子能装的个数没有限制)?

   现在把所有的情况根据非空盒子的个数分类. 非空盒子个数可能为 1 个( $n$ 个小球都在里面), 2 个, 一直到 $n$ 个(每个盒子只装 1 个). 如果用 $i$ 个盒子装小球, 那么首先从 $N$ 个盒子里面选择 $i$ 个会有 $C_n^i$ 种情况. 然后要考虑的是, 如果用已选的 $i$ 个有编号盒子装 $n$ 个小球, 又有几种情况. 用所谓的插空法得到共有 $C_{n-1}^{i-1}$ 种情况. 所以一个 $i$ 对应 $C_N^i C_{n-1}^{i-1}$ 种情况.

   最后把所有不同 $i$ 的情况数加在一起, 得出所有情况的总数为

\begin{equation} \sum_{i = 1}^n C_N^i C_{n-1}^{i-1} \end{equation}
又由于 $C_a^b = a!/[(a-b)!b!] = C_a^{a-b}$, 上式可变为
\begin{equation} \sum_{i=1}^n C_N^i C_{n-1}^{n-i} \end{equation}
又由于 $\sum_i C_a^i C_b^{n-i} = C_{a+b}^n$ ( $i$ 取所有可能的整数使得 $i \leqslant a$, $n - i \leqslant b$ )(见), 上式变为
\begin{equation} \sum_{i=1}^n C_N^i C_{n-1}^{n-i} = C_{N+n-1}^n = \frac{(N+n-1)!}{n!(N - 1)!} \end{equation}
这就是最后的答案.

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