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自旋角动量

预备知识 轨道角动量
  1. 自旋角动量三个分量算符 $S_x, S_y, S_z$ 的互相对易关系以及自旋模长平方算符 $S^2$ 的对易关系
  2. 与轨道角动量同理,存在一组本征态 $ \left\lvert s,m \right\rangle $ ( $s = 0, 1/2, 1, 3/2\dots$, $m = -s, -s+1\dots ,s-1, s$ 但是每种粒子都有固有的 $s$ ) 满足
    \begin{equation} S^2 \left\lvert s, m \right\rangle = \hbar^2 s(s+1) \left\lvert s, m \right\rangle \quad \text{和} \quad S_z \left\lvert s, m \right\rangle = \hbar m \left\lvert s, m \right\rangle \end{equation}
  3. 存在升降算符 $S_\pm = S_x \pm \mathrm{i} S_y$, 且(根号项是归一化系数)
    \begin{equation} S_\pm \left\lvert s,m \right\rangle = \hbar \sqrt{s(s + 1) - m(m \pm 1)} \left\lvert s, m+1 \right\rangle \end{equation}
  4. 对于 $s = 1/2$ 的粒子,一共有 2 个本征态, 分别是 $ \left\lvert 1/2, 1/2 \right\rangle $, $ \left\lvert 1/2, -1/2 \right\rangle $. 它们的角动量模长平方都是 $3\hbar^2/4$, 角动量 $z$ 分量都是 $\hbar/2$. 以这两个本征态为基底,令第一个为 $\chi_+ =(1, 0) ^{\mathrm{T}} $, 第二个为 $\chi_- = (0, 1) ^{\mathrm{T}} $. 可以得出角动量平方算符的矩阵为
    \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{S}} ^2 = \frac{3\hbar^2}{4} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \qquad \boldsymbol{\mathbf{S}} _z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \end{equation}
    根据 $S_+ \chi_- = \hbar \chi_+$ 和 $S_- \chi_+ = \hbar \chi_-$, 得到
    \begin{equation} S_x = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}0&1\\1& 0\end{pmatrix} \qquad S_y = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}0&- \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0\end{pmatrix} \end{equation}
    然后, 定义泡利矩阵.
    \begin{equation} \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1& 0\end{pmatrix} \qquad \sigma_y = \begin{pmatrix}0&- \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0\end{pmatrix} \qquad \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix} \end{equation}
    其实, 根据对易关系直接就可以得到泡利矩阵.
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