图

球坐标系中的梯度散度旋度及拉普拉斯算符

预备知识 旋度

   球坐标系中标量函数 $u(r, \theta, \phi)$ 和矢量函数 $\bvec v(r, \theta, \phi)$ 的梯度, 散度, 旋度和拉普拉斯算符的公式如下. 其中 $r$ 是极径,$\theta $ 是极角,$\phi $ 是方位角.

   梯度算符

\begin{equation} \grad u = \pdvTwo{u}{r}\uvec r + \frac{1}{r} \pdvTwo{u}{\theta}\uvec \theta + \frac{1}{r\sin \theta }\pdvTwo{u}{\phi}\uvec \phi \end{equation}
散度算符
\begin{equation} \div \bvec v = \frac{1}{r^2} \pdv{r} (r^2 v_r) + \frac{1}{r\sin \theta} \pdv{\theta} (\sin\theta v_\theta) + \frac{1}{r\sin \theta}\pdvTwo{v_\phi}{\phi} \end{equation}
旋度算符
\begin{equation}\ali{ \curl \bvec v = & \frac{1}{r\sin \theta} \qtySquare{\pdv{\theta} (\sin \theta v_\phi) - \pdv{\phi}}\uvec r + \frac1r \qtySquare{\frac{1}{\sin \theta}\pdvTwo{v_r}{\phi} - \pdv{r} (r v_\phi)}\uvec \theta\\ &+ \frac1r \qtySquare{\pdv{r} (r v_\theta) - \pdvTwo{v_r}{\theta}}\uvec \phi }\end{equation}
拉普拉斯算符
\begin{equation} \laplacian u = \div (\grad u) = \frac{1}{r^2} \pdv{r} \qtyRound{r^2 \pdvTwo{u}{r}} + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\pdv{\theta} \qtyRound{\sin \theta \pdvTwo{u}{\theta}} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \pdvTwo[2]{u}{\phi} \end{equation}

推导

   (未完成, 参考 David Griffiths 电动力学)

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