图

球坐标系中的梯度散度旋度及拉普拉斯算符

预备知识 旋度

   球坐标系中标量函数 $u(r, \theta, \phi)$ 和矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (r, \theta, \phi)$ 的梯度, 散度, 旋度和拉普拉斯算符的公式如下. 其中 $r$ 是极径,$\theta $ 是极角,$\phi $ 是方位角.

   梯度算符

\begin{equation} \boldsymbol\nabla u = \frac{\partial u}{\partial r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \frac{1}{r\sin \theta } \frac{\partial u}{\partial \phi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}
散度算符
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} (r^2 v_r) + \frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} (\sin\theta v_\theta) + \frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial v_\phi}{\partial \phi} \end{equation}
旋度算符
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{v}} = & \frac{1}{r\sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial{\theta}} (\sin \theta v_\phi) - \frac{\partial}{\partial{\phi}} \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \frac1r \left[\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial v_r}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial{r}} (r v_\phi) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \\ &+ \frac1r \left[ \frac{\partial}{\partial{r}} (r v_\theta) - \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{aligned} \end{equation}
拉普拉斯算符
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol\nabla u) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} \end{equation}

推导

   (未完成, 参考 David Griffiths 电动力学)

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利