图

球谐函数

预备知识 球坐标的拉普拉斯方程, 连带勒让德多项式

   当球坐标中的拉普拉斯方程(球坐标系中的拉普拉斯方程)分离变量后, 关于极角 $\theta$ 的函数为连带勒让德多项式 $P_l^m(\cos\theta)$, 方向角函数为 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi}$. 我们定义球谐函数1

\begin{equation} Y_{l, m} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = Y_{l, m}(\theta, \phi) = A_{l,m} P_l^m(\cos \theta) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi} \end{equation}
其中 $l, m$ 为整数, $l \ge 0$, $-l \le m \le -l$. $A_{l,m}$ 是归一化系数, 使得 $ \left\lvert Y_{l, m} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2$ 在单位球面上的面积分等于 12
\begin{equation} A_{l,m} = \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi }\frac{(l - m)!}{(l + m)!}} \end{equation}
球谐函数可以看作是将单位球面上的每一点(或者三维空间中的每个方向)映射到一个复数函数值.

图
图1:$r(\theta) = \left\lvert Y_{l,m}(\theta, 0) \right\rvert $ 的极坐标曲线, 注意 $Y_{l,m}(\theta, 0)$ 是实数. 红色代表 $Y_{l,m}(\theta, 0) > 0$, 蓝色代表 $Y_{l,m}(\theta, 0) < 0$. 第 1 行到第 4 行分别为 $l = 0$ 到 $3$, 每行从左到右分别为 $m = -l$ 到 $l$. 图中的右上角标明了 $r$ 的单位长度. 这里的球谐函数使用了 Condon–Shortley 相位(见下文).

偏微分方程

   球谐函数是偏微分方程

\begin{equation} \left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial{\theta}} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial{\phi}^{2}} \right) \right] Y_{lm}(\theta, \phi) = -l(l+1)Y_{lm}(\theta, \phi) \end{equation}
的解. 中括号中的算符是球坐标系拉普拉斯算子 $ \boldsymbol{\nabla}^2 $ 中的角向部分(记为 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$)乘以 $r^2$. 常见的球谐函数见 “球谐函数列表”.

归一化系数

   由球谐函数的归一化条件,

\begin{equation} \begin{aligned} 1 &= \int \left\lvert Y_{l, m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\Omega} = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \left\lvert Y_{l, m}(\theta, \phi) \right\rvert ^2 \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} \\ &= \left\lvert A_{l,m} \right\rvert ^2 \int_{-1}^1 \left\lvert P_l^m(\cos\theta) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{(\cos \theta)} \int_0^{2\pi } \left\lvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi} \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\phi} \\ &= \frac{2\pi}{ \left\lvert A_{l,m}' \right\rvert ^2} \left\lvert A_{l,m} \right\rvert ^2 \end{aligned} \end{equation}
其中 $A_{l,m}'$ 是 $P_l^m(x)$ 的归一化系数(见式 3 ), 代入后可得 $A_{l,m}$.

Condon–Shortley 相位

   与连带勒让德多项式相同, 在定义球谐函数时我们也可以选择是否包含 Condon–Shortley 相位 $(-1)^m$(物理中一般选择包含). 如果包含, 我们可以选择将其包含在连带勒让德多项式中(如式 2 ), 或者包含在球谐函数的定义中. 如果不包含, 该相位在两个定义中都不出现.

正交归一性

   由勒让德函数的正交归一性(式 4 )以及 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m \phi}$ 的正交归一性, 不难证明球谐函数的正交归一性

\begin{equation} \int Y_{l', m'}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l, m} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} = \delta_{ll'}\delta_{mm'} \end{equation}

其他性质

\begin{equation} Y_{l,-m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = (-1)^m Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )^* \end{equation}
这里的 $(-1)^m$ 是由连带勒让德多项式的性质而来, 而共轭由 $ \exp\left( \mathrm{i} m\phi\right) $ 因子而来.

旋转变换

\begin{equation} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ') = \sum_{m'=-l}^l D_{m,m'}^{(l)} (\mathcal R)^* Y_{l,m'}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} ^{(l)}$ 是 Wigner D 矩阵. 从量子力学的角度来说, 总角动量是与方向无关的, 只有角动量在某方向的分量有关.

中心对称

   $l$ 为偶数时, 球谐函数是中心对称的(偶宇称), 否则是反对称的(奇宇称).

\begin{equation} Y_{l,m}(- \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = (-1)^l Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
可以用图 1 验证.

积分

   三个球谐函数之积的积分可以表示成两个 CG 系数或 3j 符号相乘3

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \int Y_{l_1 m_1} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_2 m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l_3 m_3}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \,\mathrm{d}{\Omega} \\ &= (-1)^{m_3} \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)}{4\pi(2l_3+1)}} \begin{bmatrix}l_1& l_2& l_3\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & -m_3\end{bmatrix} \\ &= \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix}l_1& l_2& l_3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3\end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation}


1. 有些教材也将球谐函数记为 $Y_l^m$
2. 式 2 是 Mathematica 中的定义, 也有一种定义在前面加 $(-1)^m$, 同样满足归一化条件.
3. 见 Bransden 附录 A4, 以及 Wikipedia 的 3j/CG coefficients 页面

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