图

球谐函数

预备知识 球坐标的拉普拉斯方程

   在球坐标的拉普拉斯方程分离变量后, 关于极角 $\theta$ 的函数为连带勒让德多项式 $P_l^m(\cos\theta)$, 方向角函数为 $\E^{\I m\phi}$. 我们定义1

\begin{equation} Y_{l, m} (\uvec r) = Y_{l, m}(\theta, \phi) = A_{l,m} P_l^m(\cos \theta) \E^{\I m\phi} \end{equation}
$A_{l,m}$ 是归一化系数, 使得 $\abs{Y_{l, m} (\uvec r)}^2$ 在单位球面上的面积分等于 12
\begin{equation} A_{l,m} = \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi }\frac{(l - m)!}{(l + m)!}} \end{equation}

   球谐函数满足

\begin{equation} \qtySquare{\frac{1}{\sin\theta}\pdv{\theta} \qtyRound{\sin \theta \pdv{\theta}} + \frac{1}{\sin^2 \theta} \qtyRound{\pdv[2]{\phi}}}Y_{lm}(\theta, \phi) = -l(l+1)Y_{lm}(\theta, \phi) \end{equation}
中括号中的算符是球坐标系拉普拉斯算子 $\laplacian$ 中的角向部分(记为 $\laplacian_\Omega$)乘以 $r^2$. 常见的球谐函数见 “球谐函数列表”.

归一化系数

   由球谐函数的归一化条件,

\begin{equation}\ali{ 1 &= \int \abs{Y_{l, m}(\uvec r)}^2 \dd{\Omega} = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \abs{Y_{l, m}(\theta, \phi)}^2 \sin\theta\dd{\theta}\dd{\phi} \\ &= \abs{A_{l,m}}^2 \int_{-1}^1 \abs{P_l^m(\cos\theta)}^2 \dd{(\cos \theta)} \int_0^{2\pi } \abs{\E^{\I m\phi}}^2 \dd{\phi}\\ &= \frac{2\pi}{\abs{A_{l,m}'}^2} \abs{A_{l,m}}^2 }\end{equation}
其中 $A_{l,m}'$ 是 $P_l^m(x)$ 的归一化系数(见式 3 ), 代入后可得 $A_{l,m}$.

Condon–Shortley 相位

   与连带勒让德多项式相同, 在定义球谐函数时我们也可以选择是否包含 Condon–Shortley 相位 $(-1)^m$(物理中一般选择含有). 如果包含, 我们可以选择将其包含在连带勒让德多项式中, 或者包含在球谐函数的定义中. 如果不包含, 该相位在两个定义中都不出现.

正交归一性

   由勒让德函数的正交归一性(式 4 )以及 $\E^{\I m \phi}$ 的正交归一性, 不难证明球谐函数的正交归一性

\begin{equation} \int Y_{l', m'}(\uvec r) Y_{l, m} (\uvec r) \dd{\Omega} = \delta_{ll'}\delta_{mm'} \end{equation}

其他性质

\begin{equation} Y_{l,-m} = (-1)^m Y_{l,m}^* \end{equation}
这里的 $(-1)^m$ 是由连带勒让德多项式的性质而来.

   旋转变换

\begin{equation} Y_{l,m}(\uvec r') = \sum_{m'=-l}^l D_{m,m'}^{(l)} (\mathcal R)^* Y_{l,m}'(\uvec r) \end{equation}
其中 $D$ 是 Wigner-D 矩阵. 从量子力学的角度来说, 总角动量是与方向无关的, 只有角动量分量有关.

   特殊地

\begin{equation} Y_{l,m}(-\uvec r) = (-1)^l Y_{l,m}(\uvec r) \end{equation}


1. 有些教材也将球谐函数记为 $Y_l^m$
2. 式 2 是 Mathematica 中的定义, 也有一种定义在前面加 $(-1)^m$, 同样满足归一化条件.

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