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球坐标系中的亥姆霍兹方程

预备知识 球坐标系中的拉普拉斯方程

   亥姆霍兹方程为1

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 f + k^2 f = 0 \end{equation}
球坐标系中, 可以将拉普拉斯算子分解为径向和角向两部分
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 = \boldsymbol{\nabla}^2 _r + \boldsymbol{\nabla}^2 _{a} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _r$ 是关于 $r$ 的二阶偏微分算符, $r^2 \boldsymbol{\nabla}^2 _{a}$ 是关于 $\theta, \phi$ 的二阶偏微分算符.

   与拉普拉斯方程 中的过程类似, 用分离变量法, 令 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = R(r) Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$, 则分离后的径向方程和角向方程分别

\begin{equation} r^2 \boldsymbol{\nabla}^2 _r R(r) + \left[k^2 r^2 - l(l+1) \right] R(r) = 0 \end{equation}
\begin{equation} r^2 \boldsymbol{\nabla}^2 _{a} Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = -l(l+1) Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
我们已知角向的解为球谐函数 $Y_l^m( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$. 而径向方程比普拉斯方程中的多出了含 $k$ 的项, 使用变量代换 $\rho = kr$ 得
\begin{equation} \rho^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{R}}{\mathrm{d}{\rho}^{2}} + [\rho^2 - l(l+1)] R = 0 \end{equation}
该方程被称为球贝赛尔方程, 两个线性无关解分别是第一和第二类球贝赛尔函数 $j_l(\rho)$ 和 $y_l(\rho)$.

   综上, 方程的通解为

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \sum_{l,m} [A_l j_l(kr) + B_l y_l(kr)] Y_l^m( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}


1. 一般地, $k$ 可以是复数, 所以 $k^2$ 也可以是负实数.

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