图

球贝塞尔函数

预备知识 贝赛尔函数

   球贝塞尔方程为

\begin{equation} x^2 \dvTwo[2]{y}{x} + 2x \dvTwo{y}{x} + [x^2 - n(n + 1)]y = 0 \end{equation}
两个线性无关的解分别为第一类球贝塞尔函数 $j_n(x)$ 和第二类球贝塞尔函数 $y_n(x)$.

\begin{equation} j_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x) \qquad y_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) \end{equation}
\begin{equation} h_n^{(1)}(x) = \sqrt {\frac{\pi }{2x}} H_{n+1/2}^{(1)}(x) = j_n(x) + \I y_n(x) \end{equation}
\begin{equation} h_n^{(2)}(x) = \sqrt{\frac{\pi }{2x}} H_{n+1/2}^{(2)}(x) = j_n(x) - \I y_n(x) \end{equation}
一阶导数( $f$ 是 $j, y, h^{(1)}, h^{(2)}$ 中的任意一种)
\begin{equation} f'_n(z) = f_{n-1}(z) - \frac{n+1}{z} f_n(z) \end{equation}

渐进形式

   当 $x \gg 1$ 时, 球贝塞尔函数可以近似为

\begin{equation} j_l(x) \to \sinRound{x - l\pi /2}/x \qquad y_l(x) \to - \cosRound{x - l\pi /2}/x \end{equation}
\begin{equation} h_l^{(1)}(x) \to ( -\I)^{l+1} \E^{\I x}/x \qquad h_l^{(2)}(x) \to \I^{l + 1} \E^{-\I x}/x \end{equation}
由渐进形式可得径向归一化积分为(以 $j_l$ 为例)
\begin{equation} \int_0^\infty j_l(k'r)j_l(kr) r^2 \dd{r} = \int_0^\infty \sinRound{k'r - l\pi/2}\sinRound{kr - l\pi/2} \dd{r} = \frac{\pi}{2} \end{equation}

修正球贝塞尔函数

   修正球贝塞尔方程和两个线性无关解为

\begin{equation} x^2 \dvTwo[2]{y}{x} + 2x\dvTwo{y}{x} - [x^2 + n(n + 1)]y = 0 \end{equation}
\begin{equation} i_n(x) = \sqrt{\frac{\pi }{2x}} I_{n+1/2}(x) = \I^{-n} j_n(\I x) \end{equation}
\begin{equation} k_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} K_{n+1/2}(x) = \frac{\pi }{2} \I^{n + 2} h_n^{(1)}(\I x) \end{equation}

   分别为第一类和第二类. 渐进形式为

\begin{equation} i_n(x) \to \frac{\E^x}{2x} \qquad k_n(x) \to \frac{\pi}{2} \frac{\E^{-x}}{x} \end{equation}

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利