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球贝塞尔函数

         

预备知识 贝赛尔函数

   球贝塞尔方程为

\begin{equation} x^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{y}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + 2x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} + [x^2 - n(n + 1)]y = 0 \end{equation}
两个线性无关的解分别为第一类球贝塞尔函数 $j_n(x)$ 和第二类球贝塞尔函数 $y_n(x)$.

\begin{equation} j_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x) \qquad y_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) \end{equation}
\begin{equation} h_n^{(1)}(x) = \sqrt {\frac{\pi }{2x}} H_{n+1/2}^{(1)}(x) = j_n(x) + \mathrm{i} y_n(x) \end{equation}
\begin{equation} h_n^{(2)}(x) = \sqrt{\frac{\pi }{2x}} H_{n+1/2}^{(2)}(x) = j_n(x) - \mathrm{i} y_n(x) \end{equation}
一阶导数( $f$ 是 $j, y, h^{(1)}, h^{(2)}$ 中的任意一种)
\begin{equation} f'_n(z) = f_{n-1}(z) - \frac{n+1}{z} f_n(z) \end{equation}

渐进形式

   当 $x \gg 1$ 时, 球贝塞尔函数可以近似为

\begin{equation} j_l(x) \to \sin\left(x - l\pi /2\right) /x \qquad y_l(x) \to - \cos\left(x - l\pi /2\right) /x \end{equation}
\begin{equation} h_l^{(1)}(x) \to ( - \mathrm{i} )^{l+1} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x}/x \qquad h_l^{(2)}(x) \to \mathrm{i} ^{l + 1} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}/x \end{equation}
由渐进形式可得径向归一化积分为(以 $j_l$ 为例)
\begin{equation} \int_0^\infty j_l(k'r)j_l(kr) r^2 \,\mathrm{d}{r} = \int_0^\infty \sin\left(k'r - l\pi/2\right) \sin\left(kr - l\pi/2\right) \,\mathrm{d}{r} = \frac{\pi}{2} \end{equation}

修正球贝塞尔函数

   修正球贝塞尔方程和两个线性无关解为

\begin{equation} x^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{y}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + 2x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} - [x^2 + n(n + 1)]y = 0 \end{equation}
\begin{equation} i_n(x) = \sqrt{\frac{\pi }{2x}} I_{n+1/2}(x) = \mathrm{i} ^{-n} j_n( \mathrm{i} x) \end{equation}
\begin{equation} k_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} K_{n+1/2}(x) = \frac{\pi }{2} \mathrm{i} ^{n + 2} h_n^{(1)}( \mathrm{i} x) \end{equation}

   分别为第一类和第二类. 渐进形式为

\begin{equation} i_n(x) \to \frac{ \mathrm{e} ^x}{2x} \qquad k_n(x) \to \frac{\pi}{2} \frac{ \mathrm{e} ^{-x}}{x} \end{equation}

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