图

球坐标系

预备知识 位矢,矢量的叉乘

球坐标

   三维直角坐标系中的一点 $P$ 的位置可以用 $(r,\theta ,\phi )$ 这 3 个有序实数来表示,称为该点的球坐标图 1 ).其中 $r$ 表示该点到原点的距离 ($r \geqslant 0$), 即位矢模长; $\theta$ 表示该点的位矢与 $z$ 轴的夹角 ($\theta \in [0,\pi]$), 即极角; $\phi$ 表示该点的位矢在 $x - y$ 平面上的投影与 $x$ 轴的夹角 ($\phi \in [0,2\pi]\text{或}[- \pi,\pi]$), 即方位角.注意有些教材中用 $\theta $ 表示方位角, $\phi $ 表示极角,或者将 $\phi $ 记为 $\varphi $, $r$ 记为 $\rho $ 等,需要通过上下文判断每个坐标符号的具体含义.

图
图1:球坐标系

球坐标系中的单位矢量

   三个球坐标分别有对应的单位矢量 $\uvec r, \uvec\theta, \uvec\phi$ (如图).定义它们的方向分别指向对应坐标增加的方向,例如 $r$ 增加时,点 $P(r,\theta ,\phi )$ 就向 $\uvec r$ 的方向移动.三个单位矢量两两垂直,形成一组正交归一基底,任意三维矢量都可以表示成它们的线性组合.即

\begin{equation} \bvec v = (\bvec v \vdot \uvec r)\,\uvec r + (\bvec v \vdot \uvec \theta)\,\uvec \theta + (\bvec v \vdot \uvec \phi)\,\uvec \phi = v_r \,\uvec r + v_\theta \,\uvec \theta + v_\phi \,\uvec \phi \end{equation}
与直角坐标系不同的是,按照定义,球坐标的三个单位矢量是关于 $\theta$ 和 $\phi$ 的函数.即 $\uvec r(\theta ,\phi )$, $\uvec \theta (\theta ,\phi )$, $\uvec \phi (\phi )$. 例如 $P$ 的球坐标为 $(1, \pi/2, 0)$, 直角坐标为 $(1, 0, 0)$ 时, $\uvec r = \uvec x$, $\uvec \theta = - \uvec z$, $\uvec \phi = \uvec y$. 但是球坐标为 $(1, \pi/2, \pi/2)$, 直角坐标为 $(0, 1, 0)$ 时, $\uvec r = \uvec y$, $\uvec \theta = - \uvec z$, $\uvec \phi = - \uvec x$. 一般地,对于球坐标为 $(r, \theta , \phi )$ 的点 $\uvec r, \uvec \theta, \uvec \phi$ 与 $\uvec x, \uvec y, \uvec z$ 的关系见球坐标与直角坐标的转换.另外注意改变 $r$ 时 $\uvec r, \uvec \theta, \uvec \phi$ 都保持不变,且 $\uvec \phi (\phi )$ 仅由坐标 $\phi $ 决定.

   三个坐标按照 $(r, \theta , \phi )$ 排序,是为了使对应的单位矢量满足 $\uvec r \cross \uvec \theta = \uvec \phi $ (类比直角坐标系的三个单位矢量必须满足 $\uvec x \cross \uvec y = \uvec z$, 见矢量的叉乘). 这也是所有正交曲线坐标系 的要求.

球坐标系中矢量的两种表示方法

   球坐标系中,矢量可以用球坐标 $(r, \theta, \phi)$ 表示,即矢量以原点为起点,以终点的球坐标表示该矢量.

   更常见的方法,是将矢量投影到 3 个单位矢量上( 当然,要说明是关于哪个点的单位矢量), 用单位矢量的线性组合来表示.在矢量分析中,这种方法常用于表示矢量场. 例如任意一点 $P(r, \theta, \phi)$ 的位矢都可以表示为 $r\,\uvec r$. 又如原点处电荷 $q$ 产生的电场为 $\bvec E = k q \,\uvec r/r^2$. 又如一个绕 $z$ 轴逆时针旋转( 角速度 $\omega $) 的圆柱,在 $P$ 点的线速度为

\begin{equation} \bvec v = \omega r\sin \theta \,\uvec \phi \end{equation}

两方向的夹角

预备知识 内积

   若已知球坐标系中两个方向分别为 $(1, \theta_1, \phi_1)$ 和 $(1, \theta_2, \phi_2)$ 如何求它们之间的夹角 $\alpha$ 呢? 我们可以先计算两个单位矢量的直角坐标, 然后对它们进行内积即可得到两矢量夹角的余弦值. 由, 两矢量的直角坐标分别为

\begin{equation} (\sin\theta_1\cos\phi_1, \sin\theta_1\sin\phi_1, \cos\theta_1) \qquad (\sin\theta_2\cos\phi_2, \sin\theta_2\sin\phi_2, \cos\theta_2) \end{equation}
利用三角恒等式, 得
\begin{equation}\ali{ \cos\alpha &= \cos\theta_1\cos\phi_1\cos\theta_2\cos\phi_2 + \cos\theta_1\sin\phi_1 \cos\theta_2\sin\phi_2 + \sin\theta_1 \sin\theta_2\\ &= \cos\theta_1\cos\theta_2(\cos\phi_1 \cos\phi_2 + \sin\phi_1\sin\phi_2) + \sin\theta_1 \sin\theta_2\\ &= \cos\theta_1\cos\theta_2\cosRound{\phi_2-\phi_1} + \sin\theta_1 \sin\theta_2\\ }\end{equation}

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