单摆（大摆角）

贡献者： coppersoulfate; addis

预备知识　单摆，椭圆积分

　　令最大摆角为 $\theta_0$，能量守恒，机械能为

\begin{equation} E = \frac{1}{2} m l^2 \dot \theta^2 - mg l \cos\theta = - mg l \cos\theta_0~, \end{equation}

所以 $\theta$ 处的角速度为

\begin{equation} \dot{\theta} = \sqrt{\frac{2g}{l} (\cos\theta - \cos\theta_0) }~. \end{equation}

令 $t = 0$ 时 $\theta = 0$ 且 $\dot{\theta} > 0$，该微分方程的解可以用椭圆积分式 3 表示

\begin{equation} t(\alpha) = \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\alpha} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{\sqrt{\cos\theta - \cos\theta_0}} = \sqrt{\frac{l}{g}} \csc\frac{\theta_0}{2} F \left(\frac{\alpha}{2}, \csc\frac{\theta_0}{2} \right) ~, \qquad (0 \leqslant \alpha \leqslant \theta_0)~. \end{equation}

周期可以表示为从最低点第一次摆到最高点所需时间的 4 倍

\begin{equation} T = 4t(\theta_0) = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \csc\frac{\theta_0}{2} F \left(\frac{\theta_0}{2}, \csc\frac{\theta_0}{2} \right) ~. \end{equation}

Wikipedia 给出的公式为

\begin{equation} T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} F \left(\frac{\pi}{2}, \sin\frac{\theta_0}{2} \right) ~. \end{equation}

此式可由式 3 作如下变换得到：

\begin{equation} t(\alpha)=\frac12\sqrt{\frac{l}{g}}\int_{0}^{\alpha}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\sin^2\frac{\theta_0}2-\sin^2\frac{\theta}2}}~. \end{equation}

令

\begin{equation} \sin \phi(\theta)=\frac{\sin^2\frac{\theta}2}{\sin^2\frac{\theta_0}2}~, \end{equation}

则

\begin{equation} \mathrm d\theta=2\frac{\sin\frac{\theta_0}2}{\cos\frac{\theta}2}\cos\phi(\theta)\mathrm d\phi =2\frac{\sin\frac{\theta_0}2}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta}2}}\sqrt{1-\sin^2\phi(\theta)}\mathrm d\phi =2\frac{\sqrt{\sin^2\frac{\theta_0}2-\sin^2\frac{\theta}2}}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}2\sin^2{\phi(\theta)}}}\mathrm d\phi~. \end{equation}

代入式 6 有

\begin{equation} t(\alpha)=\sqrt{\frac{l}{g}}\int_{0}^{\phi(\alpha)}\frac{\mathrm{d}\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}2\sin^2{\phi(\theta)}}}~. \end{equation}

又 $\phi(\theta_0)=\frac\pi2$，则

\begin{equation} T=4t(\theta_0)=\sqrt{\frac{l}{g}}\int_{0}^{\frac\pi2}\frac{\mathrm{d}\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}2\sin^2{\phi(\theta)}}}=4 \sqrt{\frac{l}{g}} F \left(\frac{\pi}{2}, \sin\frac{\theta_0}{2} \right) ~, \end{equation}

与式 5 相同。

　　（图未完成）（未完成：周期的级数展开，$\theta(t)$ 级数解）

未完成：泰勒展开一下

图 1：123

图 2：请添加图片描述

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