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定态薛定谔方程

预备知识 量子力学基本假设, 矢量算符

定态薛定谔方程

   用于求能量的本征态

\begin{equation} H \left\lvert \Psi \right\rangle = E \left\lvert \Psi \right\rangle \end{equation}

   单个粒子问题中, 哈密顿算符对应粒子的总能量, 总能量算符可以表示为动能算符和势能算符之和

\begin{equation} H = T + V \end{equation}

   一维运动的单个质点, 波函数是坐标 $x$ 的函数 $\Psi(x)$

\begin{equation} T = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \qquad V = V(x) \end{equation}
所以定态薛定谔方程为
\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^{2}{\Psi}}{\partial{x}^{2}} + V(x)\Psi = E \Psi \end{equation}

   二维或三维的情况下, 波函数是位置矢量的函数 $\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$

\begin{equation} T = -\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \qquad V = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
定态薛定谔方程为
\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 {\Psi} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\Psi = E \Psi \end{equation}

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