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球面散射态与平面散射态的转换

预备知识 平面波的球谐展开

   我们已经知道没有势能时, 每个正能量(即每个 $k$ 值)的本征态存在无穷维的简并, 我们既可以取无穷多离散的球面波作为简并空间的基底, 也可以取无穷多不同方向的平面波作为简并空间的基底, 两组基底展开同一个本征值为 $E = k^2/2$ 的子空间.

   现在我们来讨论存在短程有心力的情况, 令短程力的势能函数为 $V(r)$ 且满足短程条件

\begin{equation} \lim_{r\to\infty} r^2V(r) = 0 \end{equation}

   之所以这么定义短程力, 是因为当 $r$ 很大时, $V(r)$ 相比与径向方程中的离心势能项可以忽略不计.

   这时如果要求解球面波的散射态, 可以取一个较大的 $r_0$ 把 $r$ 分成两部分, $r < r_0$ 的部分一般没有解析解, 我们可以用数值方法求解. $r > r_0$ 部分的通解是两类球贝赛尔函数的线性组合, 即 $A kr n_l(kr) + B kr j_l(kr)$. 解出第一部分以后, 可以在 $r_0$ 将两部分波函数匹配, 使函数值和一阶导数连续, 解得 $A, B$ 系数. 然后求出相移 $\delta_l(k)$, 使1

\begin{equation} A kr j_l(kr) - B kr y_l(kr) \to C kr j_l [kr + \delta_l(k)] \end{equation}
\begin{equation} \delta_l(k) = \arctan\frac{B}{A} \end{equation}

   要归一化, 我们只需令 $C = \sqrt{2/\pi}$. 要证明带有相移的径向波函数满足归一化条件, 我们只需证明微小相移不影响归一化积分的结果

\begin{equation}\ali{ &\quad \int_0^{\infty} \sinRound{kr}\sin[k'r + \delta'(k)(k'-k)] \dd{r} \\ &= \int_0^{\infty} \sinRound{kr}\sinRound{k'r}\cos[\delta'(k)\dd{k}]\dd{r} \\ &= \int_0^{\infty} \sinRound{kr}\sinRound{k'r}\dd{r} = \frac{\pi}{2} \delta(k - k') }\end{equation}
归一化以后, 我们就得到了球面波形式的散射态.

   我们希望能找到平面波对应的非束缚本征态, 即当 $r \to \infty$ 的时候我们仍然希望看到平面波(想象平面水波遇到一个石头, 只会产生局部的扰动).

   (说明未完成, 没时间了, 直接上公式吧)

   边界条件为2

\begin{equation} \psi_{\bvec k}(\bvec r) \to \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \qtySquare{\E^{\bvec k \vdot \bvec r} + f(\uvec r) \frac{\E^{\I kr}}{r}} \end{equation}
其中 $f(\uvec r)$ 是一个只与方向有关的函数, 叫做散射幅. 散射幅的模方就是微分截面
\begin{equation} \pdvTwo{\sigma}{\Omega} = \frac{\abs{\bvec j_{out}(\bvec r)}r^2}{\abs{\bvec j_{in}(\bvec r)}} = \abs{f(\uvec r)}^2 \end{equation}
将各项球谐展开, 令
\begin{equation} f(\uvec r) = \sum_{l, m} B_{l,m} Y_{l,m}(\uvec r) \end{equation}
对比每个球谐项的径向波函数得
\begin{equation} C_{l,m} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin[kr -l\pi/2 + \delta_l(k)] = A_{l,m} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sinRound{kr - l \pi/2} + B_{lm} \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \E^{\I kr} \end{equation}
其中 $A_{l,m}$ 是已知的平面波的球谐展开系数(式 3 ), 解得另外两个系数为(分别对比 $\expRound{\I kr}$ 和 $\expRound{-\I kr}$ 分量的系数)
\begin{equation} C_{l,m} = \E^{\I\delta_l(k)} A_{l, m} = \frac{\I^l}{k} \E^{\I\delta_l(k)} Y_{lm}^*(\uvec k) \end{equation}
\begin{equation} B_{l,m} =4\pi \sin\delta_l(k) \E^{-\I l\pi/2} C_{l,m} \end{equation}


1. 我们在第二类贝赛尔函数 $y_l(kr)$ 前面加上负号使其渐进式具有 $\cosRound{kr - l\pi/2}$ 的形式
2. 满足该边界条件的波函数貌似也满足归一化条件 $\delta(\bvec k - \bvec k')$.

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