分离变量法与张量积空间
我们可以从张量积空间和本征问题的角度来理解分离变量法．
第一我们假设考虑的方程是线性的． 即解可以表示为齐次解的线性组合加一个非齐次解．
以球坐标的拉普拉斯方程为例， 这是一个齐次方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 u = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} = 0
\end{equation}
\begin{equation}
u(r, \theta, \phi) = f(r) g(\theta) h(\phi)
\end{equation}
要分离变量， 可以从最简单的变量开始， 分离出该变量的算符， 然后求该算符的本征方程的一组本征函数（本征矢）， 作为该变量的函数空间的基底． 这样， 该算符就可以被替换为常数． 替换后， 尝试分离下一个变量的算符， 以此类推．
拉普拉斯方程中， 首先最容易分离的是关于 $\phi$ 的算符
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}}{\partial{\phi}^{2}}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}{h}}{\partial{\phi}^{2}} = -m^2 h
\end{equation}
将算符替换为本征值， 然后容易发现后两项中都有公共的 $1/r^2$ 因子， 提取出来就可以分离出只含有 $\theta$ 的算符
\begin{equation}
\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial{\theta}} \right) - \frac{m^2}{\sin^2 \theta}
\end{equation}
最后， 我们剩下仅关于 $r$ 的方程， 同样可以表示为本征方程
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right) = l(l+1) f
\end{equation}
根据施图姆—刘维尔定理， 三组本征基底都是正交且完备的， 所以张量积空间中的基底也是正交完备的
\begin{equation}
u_{l,m}(r, \theta, \phi) = f_l(r) g_l(\theta) h_m(\phi)
\end{equation}
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