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我们可以从张量积空间和本征问题的角度来理解分离变量法。
第一我们假设考虑的方程是线性的。即解可以表示为齐次解的线性组合加一个非齐次解。
以球坐标的拉普拉斯方程为例，这是一个齐次方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 u = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} = 0~.
\end{equation}
我们可以将 $u$ 所在的三维函数空间看做是三个变量各自的函数空间的张量积空间，张量积空间中的基底为三个单变量函数空间中的基底的张量积
\begin{equation}
u(r, \theta, \phi) = f(r) g(\theta) h(\phi)~.
\end{equation}
要分离变量，可以从最简单的变量开始，分离出该变量的算符，然后求该算符的本征方程的一组本征函数（本征矢），作为该变量的函数空间的基底。这样，该算符就可以被替换为常数。替换后，尝试分离下一个变量的算符，以此类推。
拉普拉斯方程中，首先最容易分离的是关于 $\phi$ 的算符
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}}{\partial{\phi}^{2}} ~,
\end{equation}
令该算符的本征函数 $h_m(\phi)$ 为 $\phi$ 函数空间的基底，令本征值为常数 $-m^2$
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}{h}}{\partial{\phi}^{2}} = -m^2 h~.
\end{equation}
将算符替换为本征值，然后容易发现后两项中都有公共的 $1/r^2$ 因子，提取出来就可以分离出只含有 $\theta$ 的算符
\begin{equation}
\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial{\theta}} \right) - \frac{m^2}{\sin^2 \theta}~,
\end{equation}
令该算符的本征函数 $g_l(\theta)$ 为 $\theta$ 函数空间的基底，令本征值为常数 $-l(l+1)$。
最后，我们剩下仅关于 $r$ 的方程，同样可以表示为本征方程
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right) = l(l+1) f~,
\end{equation}
令 $f_l(r)$ 为 $r$ 函数空间的基底。
根据施图姆—刘维尔定理，三组本征基底都是正交且完备的，所以张量积空间中的基底也是正交完备的
\begin{equation}
u_{l,m}(r, \theta, \phi) = f_l(r) g_l(\theta) h_m(\phi)~.
\end{equation}
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