图

简谐振子的品质因数

预备知识 简谐振子受迫运动

   简谐振子的品质因数为

\begin{equation} Q = \frac{k}{\alpha \omega_m} \end{equation}
其中 $k$ 为弹性系数, $\alpha$ 为线性阻尼, $\omega_m$ 为共振角频率.

   弹簧振子的品质因数有几种定义方法,它们是等效的

从能量定义

\begin{equation} Q = \frac{2\pi E}{W} \end{equation}
其中 $E$ 是当 $\omega = \omega_m$ 时弹簧振子做简谐运动的总能量, $W$ 是 $\omega = \omega_m$ 时 $f(t)$ 在一个周期内给弹簧振子做的功,等于阻力在一个周期内消耗的能量.下面根据该定义推导.

   当达到共振频率时($\omega = \omega_m$), 外力一周期做功

\begin{equation} W = \int_0^{2\pi/\omega} \Re[y'(t)] \Re[f(t)] \dd{t} \end{equation}

   令 $A = A_x + \I A_y$, 则

\begin{equation} \Re[y'(x)] = \Re[\I\omega (A_x + \I A_y)(\cos\omega t + \I \sin\omega t)] = -\omega A_y \cos\omega t - \omega A_x \sin\omega t \end{equation}
\begin{equation} \Re f(t) = B\cos \omega t \end{equation}
代入方程,得
\begin{equation} W = -\omega B \int_0^{2\pi/\omega} (A_y \cos\omega t + A_x \sin\omega t) \cos\omega t \dd{t} = -B A_y \pi \end{equation}
另外弹簧振子的总能量为 $E = k\abs{A}^2/2$, 所以品质因数为
\begin{equation} Q = \frac{2\pi E}{W} = -\frac{k\abs{A}^2}{B A_y} \end{equation}
此时
\begin{equation} A = \frac{B}{m(\omega_0^2 - \omega^2) + \I \alpha\omega} = \frac{B}{\frac{\alpha^2}{2m} + \I\omega \alpha} \end{equation}
所以
\begin{equation} \abs{A} = \frac{\abs{B}}{\sqrt{\alpha^2\omega^2 + \frac{\alpha^4}{4m^2}}} \end{equation}
\begin{equation} A_y = \Im[A] = \frac{-B\omega\alpha}{\alpha^2\omega^2 + \frac{\alpha^2}{4m^2}} \end{equation}
代入式 7 ,得品质因数为
\begin{equation} Q = \frac{k}{\alpha\omega_m} \end{equation}

从幅频曲线定义

   当线性阻尼 $\alpha$ 很小时,品质因数为

\begin{equation} Q = \frac{f_m}{\Delta {f}} = \frac{\omega_m}{\Delta \omega} \end{equation}
其中 $\Delta\omega$ 是系统的能量—频率曲线的半高宽(FWHM).由此可以看出品质因数越大,幅频曲线就越尖锐越细.

   由于弹簧振子能量为 $E = k\abs{A}_{max}^2/2$, $\Delta \omega$ 也是幅频曲线的 “$1/\sqrt{2}$ 高宽”. 即满足

\begin{equation} \abs{A} \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}} \abs{A}_{max} \end{equation}
的 $\omega$ 区间的宽度.

   由于

\begin{equation} \omega_m = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{\alpha^2}{2m^2}} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\alpha^2}{2m^2}} \end{equation}
当阻力系数 $\alpha$ 很小时, 弹簧振子的共振频率接近于无阻力时的频率.根据(未完成),
\begin{equation} \omega_m = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\alpha^2}{2m^2}} = \omega_0 - \frac{\alpha^2}{4\omega_0 m^2} \end{equation}
所以可以认为 $\omega_m \approx \omega_0$.

   把幅频关系

\begin{equation} \abs{A} = \frac{\abs{B}}{m\sqrt{(\omega^2 - \omega_m^2)^2 + (\omega_0^4 - \omega_m^4)}} \end{equation}
代入式 13
\begin{equation} (\omega^2 - \omega_m^2)^2 + (\omega_0^4 - \omega_m^4) = 2(\omega_0^4 - \omega_m^4) \end{equation}
解得
\begin{equation} \omega^2 = \omega_m^2 \pm \sqrt{\omega_0^4 - \omega_m^4} \end{equation}
所以区间以 $\omega_0$ 为中心且
\begin{equation} \Delta(\omega^2) = 2\sqrt{\omega_0^4 - \omega_m^4} \end{equation}
而 $\Delta(\omega^2) \approx 2\omega_m \Delta \omega$, 所以
\begin{equation} \Delta \omega = \frac{\Delta(\omega^2)}{2\omega_m} = \frac{\sqrt{\omega_0^4 - \omega_m^4}}{\omega_m} \end{equation}
其中
\begin{equation} \sqrt{\omega_0^4 - \omega_m^4} = \sqrt{(\omega_0^2 - \omega_m^2)(\omega_0^2 + \omega_m^2)} \approx \sqrt{\frac{\alpha^2}{2m^2} \cdot 2\omega_m^2} = \frac{\alpha\omega_m}{m} \end{equation}
所以 $\Delta \omega = {\alpha}/{m}$. 所以
\begin{equation} Q = \frac{\omega_m}{\Delta \omega} \approx \frac{\omega_0}{\Delta \omega} = \frac{m\omega_0}{\alpha} = \frac{m}{\alpha} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{k}{\alpha \omega_0} \approx \frac{k}{\alpha\omega_m} \end{equation}
与第一种定义结论一致.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利