图

三维简谐振子(球坐标)

预备知识 球坐标和柱坐标中的径向方程

   势能为 $V(r) = m\omega^2 r^2/2$, 总波函数和能级为

\begin{equation} \psi_{n,l,m} = R_{n,l}(r) Y_{l,m}(\Omega) \qquad E_{n,l} = \qtyRound{2n + l + \frac32} \hbar \omega \end{equation}
由于角动量量子数 $l$ 只决定离心势能 $\frac{\hbar^2}{2m} \frac{l(l + 1)}{r^2}$ 的大小, 所以 $l$ 可以取任意非负整数. 径向波函数为. 令 $x = r/\beta $
\begin{equation} R_{n,l}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} \sqrt{\frac{2^{n+l+2} n!}{(2n + 2l + 1)!!}} x^l L_n^{l+1/2}(x^2) \E^{-x^2/2} \end{equation}
其中 $L_n^{l+1/2}$ 是 Generalized Laguerre Polynomials, 氢原子中的拉盖尔函数是 $L_n(x) = L_n^0(x)$.

   递推关系

\begin{equation} L_{n+1}^\alpha (x) = [(2n + 1 + \alpha - x)L_n^\alpha (x) - (n + \alpha )L_{n - 1}^\alpha (x)]/(n + 1) \end{equation}
\begin{equation} L_0^\alpha (x) = 1 \qquad L_1^\alpha (x) = 1 + \alpha - x \end{equation}

   罗德里格斯公式

\begin{equation} L_n^\alpha (x) = \frac{x^{-\alpha} \E^x}{n!} \dv[n]{x} (\E^{-x} x^{n+\alpha}) \end{equation}

   前几个束缚态为 (简并 $\deg = \sum (2l + 1)$ )\ \\ $E = 3\hbar \omega /2$ ( $\deg = 1$ )

\begin{equation} R_{0,0}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} 2\E^{-\frac12 x^2} \end{equation}
$E = 5\hbar \omega /2$ ( $\deg = 3$ )
\begin{equation} R_{0,1}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} \frac{2\sqrt 6}{3} x \E^{-\frac12 x^2} \end{equation}
$E = 7\hbar \omega /2$ ( $\deg = 6$ )
\begin{equation} R_{0,2}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} \frac{4}{\sqrt{15}} x^2 \E^{- x^2/2} \end{equation}
\begin{equation} R_{1,0}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} \frac{2\sqrt 6}{3} \qtyRound{\frac32 - x^2} \E^{-x^2/2} \end{equation}
$E = 9\hbar\omega /2$ ( $\deg = 8$ )
\begin{equation} R_{0,3}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} 4\sqrt{\frac{2}{105}} x^3 \E^{-x^2/2} \end{equation}
\begin{equation} R_{1,1}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} \frac{4}{\sqrt{15}} \qtyRound{\frac52 - x^2} x \E^{-x^2/2} \end{equation}

    

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