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简谐振子

预备知识 胡克定律, 牛顿第二定律
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图1:简谐振子模型

   如图 1 , 质量为 $m$ 的质点固定在弹性系数为 $k$ 的弹簧的一端,弹簧另一端固定.在 $t = 0$ 时,若质点不在平衡位置,或者有一个初速度,则接下来会发生振动(忽略弹簧的质量, 任何摩擦以及重力). 以质点拉伸弹簧的方向为 $x$ 轴正方向,质点的平衡位置为 $x = 0$. 当质点在位置 $x$ 时,根据胡克定律,受力为 $F = - kx$. 根据牛顿第二定律 $F = ma = m\ddot x$ ( $\ddot x$ 代表对时间的二阶导数). 两式消去 $F$, 得

\begin{equation} m\ddot x = - kx \end{equation}
这是一个单变量函数 $x(t)$ 与其二阶导数的关系式. 我们把这样含有单变量函数及其导数或高阶导数的等式叫做常微分方程. 由于上式中最高阶导数是二阶,所以叫做二阶微分方程. 要解该方程,就是要寻找一个函数 $x(t)$, 使它的二阶导数与 $- x(t)$ 成正比,比例系数为 $k/m$. 注意到 $\cos'' t = - \cos t$ 具有类似的性质1,不妨继续猜测 $x = \cosRound{\omega t}$, 则 $\ddot x = - {\omega ^2}\cos \omega t$. 所以只要令 $\omega = \sqrt{k/m}$ 即可满足方程. 这说明,弹簧的振动可以用余弦函数来描述.但是这只是方程的一个解. 任意情况的振动可以表示为以下函数(令 $A$ 和 $\phi_0$ 为两个任意实数)
\begin{equation} x = A\cosRound{\omega t + \phi_0} \qquad \qtyRound{\omega = \sqrt{k/m}} \end{equation}
这叫做微分方程式 1 通解(系统的方法参考二阶常系数齐次微分方程的通解 ), 即无论常数 $A, \phi_0$ 取任意值, 微分方程总能得到满足.

   满足这种形式的运动叫做简谐运动(或简谐振动).其中 $A$ 为振幅, $\omega t + \phi_0$ 为相位, $\phi_0$ 为初相位(即 $t = 0$ 时刻的相位). 但是如何决定 $A$ 和 $\phi_0$ 呢? 根据上面给出的条件还不能判断. 由于有两个待定常数, 我们需要两个额外条件才能解出. 常见的情况是给出初始时刻 $t = 0$ 时质点的位置 $x(0)$ 和速度 $\dot x(0)$ , 这就叫做初值条件

   例如给出 $x(0) = 0$, $\dot x(0) = v_0$, 把方程的通解代入, 得 $A\cos \phi_0 = 0$, $ - A\omega \sin \phi_0 = v_0$, 解得 $\phi_0 = \pi /2$, $A = -v_0\omega $. 所以

\begin{equation} x = - v_0\omega \cosRound {\omega t + \frac{\pi }{2}} = v_0\omega \sin \omega t \qquad \qtyRound{\omega = \sqrt{k/m}} \end{equation}

能量

   简谐振子的总能量等于质点动能加弹簧的弹性势能. 当位移最大时, 势能为 0, 总能量等于势能, 位移为 0 时势能为 0, 总能零等于动能

\begin{equation} E = \frac{1}{2} mv^2 + \frac12 k x^2 = \frac12 k A^2 = \frac12 m v_0^2 \end{equation}
其中 $v_0$ 是质点经过原点处的速度.


1. $\sin t$ 也有同样的性质, 所以以下讨论对 $\sin t$ 也成立

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