贡献者： 待更新
如果定态薛定谔方程
\begin{equation}
H \left\lvert \Psi \right\rangle = E \left\lvert \Psi \right\rangle ~
\end{equation}
中的状态 $ \left\lvert \Psi \right\rangle $ 可以看作是两个小空间的张量积空间
1，且总哈密顿 $H$ 可以分解为
\begin{equation}
H = H_1 \otimes I + I \otimes H_2~
\end{equation}
的形式。那么我们先分别解出两个子空间的定态薛定谔方程
\begin{equation}
\begin{cases}
H_1 \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle = E_{1,i} \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle \\
H_2 \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle = E_{2,j} \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle ~,
\end{cases}
\end{equation}
这两组解分别构成了两个小空间的一组完备的正交归一基底。我们也可以证明 $ \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle \otimes \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle $ 满足张量积空间中的薛定谔方程（
式 1 ）。代入得
\begin{equation}
\begin{aligned}
(H_1 \otimes I + I \otimes H_2) \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle \otimes \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle &= (H_1 \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle ) \otimes \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle + \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle \otimes (H_2 \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle )\\
&= (E_{1,i} + E_{2, j}) \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle \otimes \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle ~.
\end{aligned}
\end{equation}
证毕。
事实上，这就是偏微分方程的分离变量法。两个小空间既可以是同一个粒子在两个不同方向上的状态空间，例如二维无限深势阱），也可以是两个不同粒子的状态空间例如双粒子无限深势阱。
1. ^ 也可以是 $N > 2$ 个小空间的张量积空间，以下结论类比可得
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。