图

薛定谔方程的分离变量法

预备知识 张量积空间

   如果定态薛定谔方程

\begin{equation} H \ket{\Psi} = E \ket{\Psi} \end{equation}
中的状态 $\ket{\Psi}$ 可以看作是两个小空间的张量积空间1, 且总哈密顿 $H$ 可以分解为
\begin{equation} H = H_1 \otimes I + I \otimes H_2 \end{equation}
的形式. 那么我们先分别解出两个子空间的定态薛定谔方程
\begin{equation} \leftgroup{ H_1 \ket{\Psi_{1,i}} &= E_{1,i} \ket{\Psi_{1,i}}\\ H_2 \ket{\Psi_{2,j}} &= E_{2,j} \ket{\Psi_{2,j}} } \end{equation}
这两组解分别构成了两个小空间的一组完备的正交归一基底. 我们也可以证明 $\ket{\Psi_{1,i}} \otimes \ket{\Psi_{2,j}}$ 满足张量积空间中的薛定谔方程(式 1 ). 带入得
\begin{equation} \begin{aligned} (H_1 \otimes I + I \otimes H_2) \ket{\Psi_{1,i}} \otimes \ket{\Psi_{2,j}} &= (H_1 \ket{\Psi_{1,i}}) \otimes \ket{\Psi_{2,j}} + \ket{\Psi_{1,i}} \otimes (H_2 \ket{\Psi_{2,j}})\\ &= (E_{1,i} + E_{2, j}) \ket{\Psi_{1,i}} \otimes \ket{\Psi_{2,j}} \end{aligned} \end{equation}
证毕.

   事实上, 这就是偏微分方程的分离变量法. 两个小空间既可以是同一个粒子在两个不同方向上的状态空间, 例如二维无限深势阱), 也可以是两个不同粒子的状态空间例如双粒子无限深势阱.


1. 也可以是 $N > 2$ 个小空间的张量积空间, 以下结论类比可得

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