图

旋转矩阵的导数

预备知识 圆周运动的速度, 瞬时转轴, 叉乘的矩阵形式, 旋转矩阵

   我们来证明含参数 $t$1的旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)$ 的导数 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }$ 满足

\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \end{equation}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y\\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{pmatrix} \end{equation}
其中 $(\omega_x, \omega_y, \omega_z)$ 是旋转的瞬时转轴的坐标2

证明

   我们可以把一个任意的不随 $t$ 变化的列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 旋转得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{R}} (t) \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 \end{equation}
关于 $t$ 求导得
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 \end{equation}
令列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = (\omega_x, \omega_y, \omega_z) ^{\mathrm{T}} $, 由式 5
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
将叉乘表示为矩阵乘法(式 2 )得
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y\\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{pmatrix} \end{equation}
式 3 带入式 6 右边, 再对比式 4 , 可得式 1 . 证毕.


1. $t$ 不一定表示时间, 可以是任意参数
2. 如果使用主动理解, 即旋转矩阵将同一个坐标系中的一个矢量旋转后得到另一个矢量. 如果使用被动理解, 即旋转矩阵将同一个矢量在两个坐标系之间进行变换, 则矢量 $(\omega_x, \omega_y, \omega_z)$ 取反方向即可

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