图

绕轴旋转矩阵

预备知识 空间旋转矩阵,圆周运动的速度

   直角坐标系中,某点 $\bvec r=(x,y,z)\Tr$ 以单位矢量 $\uvec A=(A_x, A_y, A_z)\Tr$ 为轴按右手定则转动 $\theta$ 角的得到的点 $\bvec r'=(x',y',z')\Tr$ 可用矩阵乘法计算

\begin{equation} \bvec r' = \mat R_\theta \bvec r \end{equation}
其中 $\mat R_\theta$ 为绕轴旋转矩阵
\begin{equation} \mat R_\theta = \begin{pmatrix} a A_x^2 + c & a A_x A_y - s A_z & a A_x A_z + s A_y\\ a A_y A_x + s A_z & a A_y^2 + c & a A_y A_z - s A_x\\ a A_z A_x - s A_y & a A_z A_y + s A_x & a A_z^2 + c \end{pmatrix}\end{equation}
其中
\begin{equation} c = \cos\theta \qquad s = \sin\theta \qquad a = 1 - \cos\theta \end{equation}
事实上, 数学上更规范的做法是用四元数表示该矩阵.

推导

   推导的思路是用 $\uvec A$ , $\bvec r$ 和 $\theta $ 三个已知量经过数乘,内积和叉乘三种运算,表示出旋转后的矢量 $\bvec r'$,再拆成三个分量,即可得到线性变换,进而写出矩阵. 注意该思路与推导平面旋转矩阵 的思路不一样.

图
图1:绕轴旋转矩阵的推导

   如图, $\bvec r$ 绕单位矢量 $\uvec A$ 旋转后得到 $\bvec r'$. $\bvec r$ 在 $\uvec A$ 方向的分量为

\begin{equation} \bvec r_3 = (\uvec A \vdot \bvec r)\uvec A \end{equation}
在与 $\uvec A$ 垂直方向的分量为
\begin{equation} \bvec r_1 = \bvec r - \bvec r_3 \end{equation}
为了构成一组正交基底,令
\begin{equation} \bvec r_2 = \uvec A \cross \bvec r_1 \end{equation}
则 $\bvec r_2$ 相当于 $\bvec r_1$ 绕 $\uvec A$ 旋转 90°. 现在有了正交的 $\bvec r_1$ , $\bvec r_2$ 就可以表示出 $\bvec r_1$ 绕 $\uvec A$ 旋转 $\theta$ 角后的结果
\begin{equation} \bvec r' - \bvec r_3 = \bvec r_1\cos \theta + \bvec r_2\sin \theta \end{equation}
\begin{equation} \bvec r' = \bvec r_1\cos \theta + \bvec r_2\sin \theta + \bvec r_3 \end{equation}
式 4 式 5 式 6 代入式 8 , 即可求出 $\bvec r'$ 关于 $\uvec A$ , $\bvec r$ 和 $\theta $ 的矢量表达式. 把结果写成分量的形式,化简可得到 $x',y',z'$ 关于 $x,y,z$ 的线性变换与系数矩阵

由旋转矩阵推导出匀速圆周运动的线速度

   我们可以用旋转矩阵得到 $\bvec v = \bvec \omega \cross \bvec r$ (式 5 ), 这也验证了旋转矩阵的正确性.

   在无穷小的时间 $t$ 内,点 $P$ 绕轴转过 $\theta $ 角,则 $\theta = \omega t \to 0$, 此时有 $\sin\theta \to \theta $ 和 $\cos\theta \to 1$. 旋转矩阵变为

\begin{equation} \mat R_\theta = \begin{pmatrix} 1 & -A_z\theta & A_y \theta\\ A_z \theta & 1 & -A_x \theta\\ -A_y \theta & A_x \theta &1 \end{pmatrix} \end{equation}
下面 $\mat R_\theta$ 乘以某点的列矢量,得到变换后的坐标,再减掉变换前的坐标,得位移矢量 $\bvec s$
\begin{equation}\ali{ \bvec s &= \bvec v t\\ &= \pmat{1 & -A_z\theta & A_y\theta\\A_z\theta & 1 & -A_x\theta\\-A_y\theta & A_x\theta & 1} \pmat{x\\y\\z} -\pmat{1&&\\&1&\\&&1} \pmat{x\\y\\z}\\ &= \theta \pmat{0 & -A_z & A_y\\A_z & 0 & -A_x\\-A_y & A_x & 0}\pmat{x\\y\\z}\\ &= \theta\uvec A\cross\bvec r = \qtyRound{\bvec \omega t} \cross \bvec r }\end{equation}
两边除以 $t$,得 $\bvec v = \bvec \omega \cross \bvec r$.

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