图

平面旋转变换

预备知识 三角恒等式, 极坐标系

结论

   已知直角坐标系中一点 $P(x,y)$, $P$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha $ 角($\alpha \in R$) 之后变为 $P'(x',y')$ 则有

\begin{align} x' &= (\cos \alpha)x + (- \sin \alpha)y \\ y' &= (\sin \alpha)x + (\cos \alpha)y \end{align}
其逆变换如下,即已知 $P'(x',y')$ 求 $P(x,y)$
\begin{align} x &= ( \cos \alpha )x' + ( \sin \alpha )y' \\ y &= ( - \sin \alpha )x' + ( \cos \alpha )y' \end{align}

推导

   平面上一点 $P(x,y)$ 也可以用极坐标 $(r, \theta)$ 表示,一般情况下令极点与原点重合,极径与 $x$ 轴重合,则有

\begin{equation} x = r\cos \theta \qquad y = r\sin \theta \end{equation}
把点 $P$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha $ 角变为 $P'$, 则 $P'$ 极坐标为 $(r, \theta + \alpha)$. 根据上式计算为 $P'$ 的直角坐标 $(x', y')$ 并用两角和公式(式 3 )化简如下
\begin{align} x' &= r\cosRound{\theta + \alpha} = r\cos\theta \cos\alpha - r\sin\theta \sin\alpha = x\cos\alpha - y\sin\alpha \\ y' &= r\sinRound{\theta + \alpha} = r\sin\theta \cos\alpha + r\cos\theta \sin\alpha = x\sin\alpha + y\cos\alpha \end{align}
这就证明了式 1 式 2 两式.

   若要证式 3 式 4 有两种方法.一是将式 1 式 2 式中的 $x, y$ 看成未知数,解二元一次方程组.另一种方法的思路是,既然 $P$ 逆时针旋转 $\alpha $ 角为 $P'$, 那么把 $P'$ 顺时针旋转 $\alpha$ 角可得到 $P$. 而“顺时针旋转 $\alpha$ 角”就是“逆时针旋转 $-\alpha $ 角”.把变换式 1 式 2 中的 $\alpha$ 换为 $-\alpha$ 再化简得

\begin{align} x &= \cosRound{-\alpha} x' - \sinRound{-\alpha} y' = \cosRound{\alpha} x' + \sinRound{\alpha} y'\\ y &= \sinRound{-\alpha} x' + \cosRound{-\alpha} y' = -\sinRound{\alpha} x' + \cosRound{\alpha} y' \end{align}
证毕.

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