图

随机变量的变换

预备知识 概率分布函数

求新变量的分布函数

   我们先来讨论这样一个问题:令两个随机变量 $x_1, x_2$ 间有函数关系 $x_1 = g(x_2)$, 若已知 $x_1$ 的分布函数为 $f_1(x_1)$, 求 $x_2$ 的分布函数 $f_2(x_2)$.

   将两个概率分布写成微分形式, 有

\begin{gather} \dd{P} = f_1(x_1) \dd{x_1}\\ \dd{P} = f_2(x_2) \dd{x_2} \end{gather}
若将式 1 中的 $x_1$ 替换成 $g(x_2)$, $\dd{x_1}$ 替换成 $g'(x_2)\dd{x_2}$, 有
\begin{equation} \dd{P} = f_1[g(x_2)] g'(x_2) \dd{x_2} \end{equation}
对比式 2 , 得
\begin{equation} f_2(x) = f_1[g(x)] g'(x) \end{equation}
这样, 就求出了 $x_2$ 的分布函数 $f_2(x)$.

例1 

   已知 $f_1(x_1) = 3x_1^2$, $x_2 = x_1^2$, 求 $x_2$ 的分布函数.

   用 $x_2$ 表示 $x_1$ 得 $x_1 = \sqrt{x_2}$, 代入 $\dd{P} = f_1(x_1)\dd{x_1}$, 得

\begin{equation} \dd{P} = 3\sqrt{x_2}^2 \dd(\sqrt{x_2}) = \frac32 \sqrt{x_2} \dd{x_2} \end{equation}
所以 $x_2$ 的分布函数为 $f_2(x) = 3\sqrt{x}/2$.

求两变量的关系

预备知识 可分离变量的微分方程

   另一个常见的问题是已知 $x_1$ 和 $x_2$ 的分布函数 $f_1(x_1), f_2(x_2)$, 求两个随机变量需要满足的函数关系.

   对比式 1 式 2 可得一个已分离变量的微分方程

\begin{equation} f_1(x_1)\dd{x_1} = f_2(x_2)\dd{x_2} \end{equation}
将方程两边积分即可得到两变量所满足的函数关系
\begin{equation} F_1(x_1) = F_2(x_2) + C \end{equation}
其中函数 $F_1, F_2$ 分别是函数 $f_1, f_2$ 的一个原函数, 待定常数 $C$ 通常可以由 $x_1$ 和 $x_2$ 的取值范围确定.

   这个问题最常见的应用是在程序中生成指定分布函数的随机变量. 在许多编程语言中, 随机数生成器只能生成一个从 0 到 1 均匀分布的随机变量(即 $f(x) = 1$), 若我们需要一个其他分布的随机变量, 就可以使用以上方法.

例2 

   已知随机变量 $x_1\ \ (x_1\in [0,1])$ 的分布函数为 $f_1(x_1) = 1$, 求函数关系 $x_2 = g(x1)$ 使得 $x_2$ 的分布函数为 $f_2(x_2) = 2x_2\ \ (x_2\in [0,1])$.

   将 $f_1, f_2$ 代入式 6 并两边积分得

\begin{equation} x_1 = x_2^2 + C \end{equation}
由于 $x_1$ 和 $x_2$ 的区间关系得 $C = 0$, 所以有 $x_2 = \sqrt{x_1}$.

例3 

   给出两个随机变量 $\xi_1, \xi_2\ \ (\xi_1, \xi_2\in [0,1])$, 分布函数均为 $f(\xi_i) = 1$, 用 $\xi_1, \xi_2$ 表示某随机点的极坐标 $(r,\theta)$ 使得该点在单位圆内均匀随机分布.

   要使随机点在单位圆内随机分布, $\theta$ 显然应该在 $[0,2\pi]$ 间均匀随机分布, 所以令 $\theta = 2\pi\xi_2$ 即可. 要决定 $r$ 的分布函数, 我们把单位圆划分为许多小圆环, 随机点出现在某圆环内的概率等于该圆环的面积比单位圆的面积, 即

\begin{equation} \dd{P} = \frac{2\pi r\dd{r}}{\pi} = 2r\dd{r} \end{equation}
所以 $r$ 的分布函数为 $2r$. 令 $r$ 与 $\xi_1$ 间存在函数关系, 由式 6
\begin{equation} 1\dd{\xi_1} = 2r\dd{r} \end{equation}
两边积分得 $\xi_1 = r^2$ ($\xi_1 = 0$ 时 $r = 0$, 所以积分常数为零), 即 $r = \sqrt{\xi_1}$. 这样我们就可以根据给出的两个随机变量分别计算随机点的坐标了.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利