图

拉比频率

  1双态系统中

   式 13

\begin{equation} A_{mn} = \left\langle \phi_m(t) \right\rvert H'(t) \left\lvert \phi_n(t) \right\rangle = \left\langle \psi_m \right\rvert H'(t) \left\lvert \psi_n \right\rangle \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (E_m-E_n)t/\hbar} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{c}} = \mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{c}} \end{equation}

   若微扰哈密顿矩阵的对角元消失, 有 $\omega_0 = E_2 - E_1$

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \dot c_1 &= \frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} H_{12}' \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega_0 t} c_2\\ \dot c_2 &= \frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} H_{21}' \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega_0 t} c_1 \end{aligned}\right. \end{equation}

   拉比频率(Rabi Frequency)

   若矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} '$ 是一个常数矩阵乘以一个 $ \cos\left(\omega t\right) $, 当 $\omega \to \omega_0$ 时有

   拉比频率为

\begin{equation} \omega_r = \frac{1}{2} \sqrt{(\omega - \omega_0)^2 + ( \left\lvert V_0 \right\rvert /\hbar)^2} \end{equation}

   解

\begin{equation} c_2(t) = \frac{2A_{21} ^\dagger }{ \mathrm{i} \hbar \omega_r} \exp\left[- \mathrm{i} (\omega - \omega_0) t / 2\right] \sin\left(\omega_r t/2\right) \end{equation}
\begin{equation} \left\lvert c_1(t) \right\rvert ^2 + \left\lvert c_2(t) \right\rvert ^2 = 1 \end{equation}
\begin{equation} P_{21}(t) = \left\lvert c_2(t) \right\rvert ^2 = \frac{4 \left\lvert A_{12} \right\rvert ^2}{\hbar^2 \omega_r^2} \sin^2(\omega_r t/2) \end{equation}


1. 本文参考 Griffiths 和 Bransden

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