图

球坐标中的薛定谔方程

预备知识 球谐函数, 张量积空间

   无论 TDSE 是否可分离变量, 在球坐标系中用球谐函数都是常用的做法

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \sum_{l,m} R_l (r, t) Y_{l,m} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \sum_{l,m} \frac{1}{r} \psi_{l,m} (r, t) Y_{l,m} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
我们可以将 $\psi_l (r, t) Y_{l,m} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 看做径向空间和角向空间中态矢的张量积. 我们将 $l, m$ 的组合进行排序并给每个组合一个全局下标 $i$ 或 $j$.
\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \sum_j R_j (r, t) Y_j ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \sum_j \frac{1}{r} \psi_j (r, t) Y_j ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}

   将波函数代入含时薛定谔方程

\begin{equation} H \sum_j \left\lvert R_j \right\rangle \left\lvert Y_j \right\rangle = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \sum_j \left\lvert R_j \right\rangle \left\lvert Y_j \right\rangle \end{equation}
左乘 $ \left\langle Y_i \right\rvert $, 可以将角向坐标积去, 得到一组径向函数的 coupled equation. 这不完全是 TDSE 的矩阵形式, 因为我们没有在径向选取基底1
\begin{equation} \sum_j \left\langle Y_i \middle| H \middle| Y_j \right\rangle \left\lvert R_j \right\rangle = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \left\lvert R_j \right\rangle \end{equation}
如果 TDSE 可以分离变量, $ \left\lvert Y_j \right\rangle $ 是 $H$ 的本征矢, 那各个径向波函数将会是独立的 (uncoupled).

   例如无外场时的中心力场哈密顿算符有三项

\begin{equation} H = K_r + \frac{L^2}{2mr^2} + V(r) \end{equation}
它们分别都是对角矩阵, $K_r$ 和 $V(r)$ 的每个对角元都是一样的, 我们已经见到过, 第二项与 $l$ 有关. 含时薛定谔方程变为
\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi_{l,m}}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + \left[V(r) + \frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l + 1)}{r^2} \right] \psi_{l,m} = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \psi_{l,m} \end{equation}

   但是如果我们有一个任意方向的外场, 哈密顿算符就会新增一项 $V_f = \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} $. 显然这个哈密顿算符不是对角矩阵

\begin{equation} \left\langle Y_i \middle| \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| Y_j \right\rangle \end{equation}
那这一项就叫做 coupling term.由此可以计算出选择定则(selection rule)之类的.


1. 另一种理解是在径向选取 $\delta(r - r_0)$ 作为基底, 但本征值连续的基底比较复杂, 就不这么想吧.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利