图

升降算符

预备知识 本征方程

结论

   已知某个算符 $ \hat{Q} $,若能找到另一个算符 $ \hat{Q} _+$,使得 $ [{ \hat{Q} },{ \hat{Q} _+}] = h \hat{Q} _+$ 成立( $h$ 是大于零的实数), 这个算符就是 $ \hat{Q} $ 对应的升算符. 同理,若有 $ \hat{Q} _-$ 使得 $ [{ \hat{Q} },{ \hat{Q} _-}] = - h \hat{Q} _-$ 成立,这个算符就是对应的降算符.升降算符的作用是把一个本征函数变为本征值更大或者更小的本征函数.即

\begin{equation} \hat{Q} ( \hat{Q} _\pm\psi) = (q \pm h) ( \hat{Q} _ \pm\psi) \end{equation}

意义

   有时候如果算符过于复杂求解本征方程比较困难,就可以尝试寻找升降算符.升降算符可以让我们不用求解本征方程就可以快速地找到本征值.具体见简谐振子和轨道角动量.

证明

   如果 $\psi$ 是 $ \hat{Q} $ 的一个本征函数,且本征值为 $\lambda$,那么根据对易关系 $ \left[ \hat{Q} , \hat{Q} _+\right] = h \hat{Q} _+$ 有

\begin{equation} \hat{Q} ( \hat{Q} _+ \psi) = \hat{Q} _+ ( \hat{Q} \psi) + h \hat{Q} _+ \psi = \hat{Q} _+ (\lambda \psi) + h \hat{Q} _+ \psi = (\lambda + h)( \hat{Q} _+ \psi) \end{equation}
降算符的证明同理.

本征函数的归一化

   注意升降算符并不一定能保持函数的归一化.若假设 $ \hat{a} _\pm \left\lvert \psi_n \right\rangle = A_n \left\lvert \psi_{n+1} \right\rangle $, 其中 $ \left\lvert \psi_n \right\rangle $ 和 $ \left\lvert \psi_{n + 1} \right\rangle $ 都是归一化的本征态,那么由归一化条件要求

\begin{equation} \left\langle \psi_n \right\rvert \hat{a} _\pm ^\dagger \hat{a} _\pm \left\lvert \psi_n \right\rangle = \left\lvert A_n \right\rvert ^2 \left\langle{\psi_{n+1}}\middle| \psi_{n+1} \right\rangle = \left\lvert A_n \right\rvert ^2 \end{equation}
习惯上令 $A_n$ 为实数,即上式开方.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利