图

证明矩阵行秩等于列秩

预备知识 矩阵与矢量空间, 正交子空间

   我们从矢量空间的角度 证明, 假设矩阵 $A$ 的尺寸为 $N_Y \times N_X$, 也分别是 $Y$ 空间和 $X$ 空间的维数.

   定义 $X$ 空间中满足 $A |x\rangle = 0$ 的子空间为 $X$ 的零空间, 记为 $X_0$. $Y$ 空间中满足 $A ^\dagger |y\rangle = 0$ 的子空间为 $Y$ 的零空间, 记为 $Y_0$. 定义整个 $X$ 空间通过 $A$ 映射后得到 $Y$ 的另一个子空间为 $Y_1$ 空间, 即 $A(X) = Y_1$, 同理定义 $A ^\dagger (Y) = X_1$. 可以证明(见下文) $X_0$ 与 $X_1$ 正交且 $Y_0$ 与 $Y_1$ 正交, 且

\begin{equation} X_0 \oplus X_1 = X \qquad Y_0 \oplus Y_1 = Y \end{equation}
于是我们可以在 $X$ 和 $Y$ 空间中分别找到一套正交归一基底, 每套又根据两个子空间分为两组. 计算 $A(X)$ 时, $X_0$ 中的基底映射后还是零, 所以其中的基底可以去掉, 只剩下 $X_1$ 中的基底做映射, $A ^\dagger (Y)$ 也同理.
\begin{equation} A(X_1) = Y_1 \qquad A ^\dagger (Y_1) = Y_1 \end{equation}
线性映射后的空间维度总是小于等于映射前的维度, 所以如果两个方向都存在映射, 就只能是等于. 所以 $X_1$ 和 $Y_1$ 的维度相同, 即 $A$ 和 $A ^\dagger $ 线性无关的列数相同, 即 $A$ 线性无关的行数和列数相同, 即行秩等于列秩. 证毕.

补充证明

   以下证明 $Y_0$ 和 $Y_1$ 正交以及式 1 中的第二条. $X$ 空间的证明同理可得.

   我们先在 $Y_1$ 中找到一套 $N_{Y1}$ 个正交归一基底 $ \left\lvert y_{1i} \right\rangle $, 再在 $Y$ 空间中找到剩下 $N_Y - N_{Y1}$ 个正交归一基底 $ \left\lvert y_i \right\rangle $. 对任意 $ \left\lvert x \right\rangle \in X$, 有 $A \left\lvert x \right\rangle \in Y_1$, 所以

\begin{equation} \left\langle y_i \middle| A \middle| x \right\rangle = 0 \end{equation}
对两边做厄米共轭得
\begin{equation} \left\langle x \middle| A ^\dagger \middle| y_i \right\rangle = 0 \end{equation}
对任意 $ \left\lvert x \right\rangle $ 都成立, 所以
\begin{equation} A ^\dagger \left\lvert y_i \right\rangle = 0 \end{equation}
所以 $ \left\lvert y_i \right\rangle \in Y_0$. 然而对于任意 $ \left\lvert y_1 \right\rangle \in Y_1$, 必存在一些矢量 $ \left\lvert x \right\rangle $ 使
\begin{equation} \left\langle y_1 \middle| A \middle| x \right\rangle \ne 0 \iff \left\langle x \middle| A ^\dagger \middle| y_1 \right\rangle \ne 0 \end{equation}
所以
\begin{equation} A ^\dagger \left\lvert y_1 \right\rangle \ne 0 \end{equation}
即 $ \left\lvert y_1 \right\rangle \notin Y_0$. 所以 $ \left\lvert y_i \right\rangle $ 就是 $Y_0$ 的(完备)正交归一基底, 且与 $ \left\lvert y_{1i} \right\rangle $ 组成 $Y$ 的完备正交归一基底. 证毕.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利