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刚体的静力平衡

预备知识 动量定理, 角动量定理

结论

   在任意参考系中,若刚体所受的合外力,合外力矩都为零,则刚体质心不动或匀速运动, 且刚体没有转动或绕质心做匀速转动.

推导

   把刚体看做由许多质点组成,合外力为零时刚体动量守恒,而动量等于质心的动量 $\bvec p_c = M_c \bvec v_c$,所以质心做匀速运动或不动.

   刚体合外力矩为零时,质点系角动量守恒,而角动量等于质心的角动量 $\bvec L_c =\bvec r_c\cross \bvec p_c$ 加质心系中的角动量(式 4 ). 当质心匀速运动或不动时质心的角动量不变,所以质心系中刚体的角动量也不变,所以刚体绕质心做匀速转动或不转动.

例1 

   如图 1 , 一个质量为 $m$ 的线轴被斜挂在墙上, 线轴与墙面的摩擦系数为 $\mu$,线轴的大圆半径为 $R$, 小圆半径为 $r$, 求当 $\alpha$ 满足什么条件时, 线轴才能不滑落.

图
图1:线轴的平衡

   我们先来看线轴受哪几个力:重力 $mg$, 绳的拉力 $T$, 墙的支持力 $N$ 和摩擦力 $f$. 由摩擦系数的定义和刚体平衡条件可得

\begin{equation} \leftgroup{ &f \leqslant \mu N \quad \text{(摩擦系数)}\\ &N - T\sin\alpha = 0 \quad \text{(水平方向受力平衡)}\\ &T\cos\alpha + f - mg = 0 \quad \text{(竖直方向受力平衡)}\\ &Tr - fR = 0 \quad \text{(力矩平衡)} }\end{equation}
其中最后一条力矩平衡是以圆心为原点计算力矩, 虽然原则上我们可以取任意点计算力矩, 但取在圆心计算最为简单. 除了 $\alpha$ 我们有三个未知数 $T, f, N$, 用以上三条等式恰好可以把这三个未知数消去, 可得关于 $\alpha$ 的不等式
\begin{equation} \sin\alpha \geqslant \frac{r}{\mu R} \end{equation}

   一个有趣的地方在于, 不等式中没有出现质量 $m$. 事实上, 我们不使用那条含有 $mg$ 的等式也可以顺利得到答案.

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