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刚体的运动方程

         

预备知识 刚体的平面运动方程, 惯性张量

   一般情况下下刚体的运动方程要比平面运动复杂许多, 但我们仍然可以将运动分解为质心的运动以及刚体绕质心的旋转, 前者由合力决定, 所以仍然有(式 1

\begin{equation} M \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \end{equation}
所以相对于平面运动, 该问题的困难在于绕质心转动的计算. 虽然角动量定理仍然满足, 但转动惯量将有可能随时间变化. 这是因为刚体的瞬时转轴相对刚体的位置可能会随时间变化, 而不同的转轴对应的角动量一般不同.

   下面我们会看到, 刚体绕固定点转动的角动量定理可以记为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} \end{equation}
对比平面运动的式 2 , 转动惯量变为了惯性张量, 且多了一项角速度叉乘角动量. 当二者共线时, 叉乘为零, 就回到了平面运动的式子.

转动方程

   我们仍然可以用角动量定理来推导刚体的转动方程, 但这里的角动量要用惯性张量来表示(式 1 式 6

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 不随时间变化, $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $, $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 都是时间的函数. 代入角动量定理得(式 1
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{I}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{I}} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} ) \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
其中 $ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }/\mathrm{d}{t} $ 是角加速度, 记为 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $, 角速度和角加速度的关系可以类比速度和加速度. 另外注意这里对矩阵求导就是对每个元分别求导.

   我们把力矩 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 看作是一个关于时间的已知函数, 把旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 和角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 看做关于时间的未知函数(即微分方程的解). $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 完整描述了刚体绕固定点转动的状态, 就像位置和动量可以完整描述了一个质点运动的状态.

   另外, $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 之间的关系就速度和位移的关系, 假设体坐标系中固定在刚体上的任意一点坐标为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ (不随时间变化), 变换到实验室坐标系中为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} $. 对时间求导得该点在实验室坐标系的速度为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
而角速度和速度之间有 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} )$(式 5 ). 我们可以把叉乘用矩阵乘法表示为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} = \begin{pmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0\end{pmatrix} \end{equation}
是一个反对称矩阵, 即
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ^{\mathrm{T}} = - \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是任意的, 对比式 5 式 6
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \end{equation}

   现在我们可以化简式 4 第一项, 根据链式法则式 9 式 8

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{I}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} ) \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\ &= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\ &= \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\ &= \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} - \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\ &= \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\ &= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} \end{aligned} \end{equation}
其中使用了 $ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $. 所以式 4 变为
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} &= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} + \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} \\ &= \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }}{\mathrm{d}{t}} \end{aligned} \end{equation}

   整理得(注意 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} $ 得逆矩阵是 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} $, $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1}$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 的逆矩阵)

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \left( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \right) \end{equation}
式 9 式 12 就是完整的运动方程. 这是一个一阶常微分方程组, 写成标量的形式共有 12 条, 未知数分别为 $\omega_x, \omega_y, \omega_z$, $R_{i,j}$ 共 12 个.

   事实上旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 其实只有三个独立的自由度, 如果我们能用三个变量表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $, 就可以得到只含 6 个未知数的 6 个方程. 一种方法是使用欧拉角, 但列出来后式子会比较复杂. 另一种方法是用 4 元数, 即用 4 个变量表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $, 可以得到形式相对简单的方程, 见 “刚体运动方程(四元数)”.

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