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刚体的运动方程

预备知识 刚体的平面运动方程, 惯性张量

   一般情况下下刚体的运动方程要比平面运动复杂得多, 但我们仍然可以将运动分解为质心的运动以及刚体绕质心的旋转, 前者由合力决定, 所以仍然有(式 1

\begin{equation} M\bvec a_c = \sum_i \bvec F_i \end{equation}
所以相对于平面运动, 该问题的困难在于绕质心转动的计算. 虽然角动量定理仍然满足, 但转动惯量将有可能随时间变化. 这是因为刚体有可能沿不同的转轴转动, 而不同的转轴对应的角动量一般不同.

   下面我们会看到, 刚体绕固定点转动的角动量定理可以记为

\begin{equation} \bvec\tau = \mat I \bvec\alpha + \bvec\omega \cross \bvec L \end{equation}
对比平面运动的式 2 , 转动惯量变为了惯性张量, 且多了一项角速度叉乘角动量. 当二者共线时, 叉乘为零, 就回到了平面运动的式子.

转动方程

   我们仍然可以用角动量定理来推导刚体的转动方程, 但这里的角动量要用惯性张量来表示(式 1 式 6

\begin{equation} \bvec L = \mat I \bvec \omega = \mat R \mat I_0 \mat R\Tr \bvec \omega \end{equation}
其中 $\mat I_0$ 不随时间变化, $\bvec L$, $\bvec \omega$ 和 $\bvec R$ 都是时间的函数. 带入角动量定理得(式 1
\begin{equation} \bvec \tau = \dvTwo{\bvec L}{t} = \dvTwo{\mat I}{t} \bvec\omega + \mat I \dvTwo{\bvec\omega}{t} = \dv{t} (\bvec R\mat I_0 \mat R\Tr) \bvec \omega + \mat R \mat I_0 \mat R\Tr \dvTwo{\bvec \omega}{t} \end{equation}
其中 $\dvStarTwo{\bvec\omega}{t}$ 是角加速度, 记为 $\bvec\alpha$, 角速度和角加速度的关系可以类比速度和加速度. 另外注意这里对矩阵求导就是对每个元分别求导.

   我们把力矩 $\bvec \tau$ 看作是一个关于时间的已知函数, 把旋转矩阵 $\mat R$ 和角速度 $\bvec \omega$ 看做关于时间的未知函数(即微分方程的解). $\mat R$ 和 $\bvec \omega$ 完整描述了刚体绕固定点转动的状态, 就像位置和动量可以完整描述了一个质点运动的状态.

   另外, $\bvec \omega$ 和 $\bvec R$ 之间的关系就速度和位移的关系, 假设体坐标系中固定在刚体上的任意一点坐标为 $\bvec r$ (不随时间变化), 变换到实验室坐标系中为 $\mat R \bvec r$. 对时间求导得该点在实验室坐标系的速度为

\begin{equation} \bvec v = \dvTwo{\mat R}{t} \bvec r \end{equation}
而角速度和速度之间有 $\bvec v = \bvec \omega \cross (\mat R \bvec r)$(式 5 ). 我们可以把叉乘用矩阵乘法表示为
\begin{equation} \bvec v = \mat\Omega \mat R \bvec r \end{equation}
其中
\begin{equation} \mat\Omega = \pmat{0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0} \end{equation}
是一个反对称矩阵, 即
\begin{equation} \mat \Omega\Tr = -\mat \Omega \end{equation}
由于 $\bvec r$ 是任意的, 对比式 5 式 6
\begin{equation} \dvTwo{\mat R}{t} = \mat\Omega \mat R \end{equation}

   现在我们可以化简式 4 第一项, 根据链式法则式 9 式 8

\begin{equation} \begin{aligned} \dvTwo{\mat I}{t}\bvec\omega &= \dv{t}(\mat R \mat I_0 \mat R\Tr)\bvec\omega\\ &= \dvTwo{\mat R}{t} \mat I_0 \mat R\Tr \bvec\omega + \mat R \mat I_0 \qtyRound{\dvTwo{\mat R}{t}}\Tr \bvec\omega\\ &= \mat \Omega \mat R \mat I_0 \mat R\Tr \bvec\omega + \mat R \mat I_0 \mat R\Tr \mat \Omega\Tr \bvec\omega\\ &= \mat \Omega \mat R \mat I_0 \mat R\Tr \bvec\omega - \mat R \mat I_0 \mat R\Tr \mat \Omega \bvec\omega\\ &= \mat \Omega \mat R \mat I_0 \mat R\Tr \bvec\omega\\ &= \bvec \omega \cross \bvec L \end{aligned} \end{equation}
其中使用了 $\mat \Omega \bvec\omega = \bvec\omega \cross \bvec\omega = \bvec 0$. 所以式 4 变为
\begin{equation} \begin{aligned} \bvec\tau &= \bvec\omega \cross \bvec L + \mat I \bvec\alpha\\ &= \mat \Omega \mat R \mat I_0 \mat R\Tr \bvec\omega + \mat R \mat I_0 \mat R\Tr \dvTwo{\bvec\omega}{t} \end{aligned} \end{equation}

   整理得(注意 $\mat R \mat I_0 \mat R\Tr$ 得逆矩阵是 $\mat R \mat I_0^{-1} \mat R\Tr$, $\mat I_0^{-1}$ 是 $\mat I_0$ 的逆矩阵)

\begin{equation} \dvTwo{\bvec \omega}{t} = \mat R \mat I_0^{-1} \mat R\Tr \qtyRound{\bvec \tau - \mat \Omega \mat R \mat I_0 \mat R\Tr \bvec\omega} \end{equation}
式 9 式 12 就是完整的运动方程. 这是一个一阶常微分方程组, 写成标量的形式共有 12 条, 未知数分别为 $\omega_x, \omega_y, \omega_z$, $R_{i,j}$ 共 12 个.

   事实上旋转矩阵 $\mat R$ 其实只有三个独立的自由度, 如果我们能用三个变量表示 $\mat R$, 就可以得到只含 6 个未知数的 6 个方程. 一种方法是使用欧拉角, 但列出来后式子会比较复杂. 另一种方法是用 4 元数, 即用 4 个变量表示 $\mat R$, 可以得到形式相对简单的方程, 见 “刚体运动方程(四元数)”.

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