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刚体运动方程(四元数)

预备知识 刚体的运动方程, 四元数与旋转矩阵

   我们用四元数 $\bvec q$ 和角速度 $\bvec \omega$ (共 7 个标量)来表示刚体绕固定点旋转的运动状态. 下面来列运动方程(7 元一阶微分方程组).

   式 6 中已经给出了 4 条($\bvec q$ 关于时间的导数)

\begin{equation} \dvTwo{\bvec q}{t} = \frac12 [0, \bvec \omega] \bvec q \end{equation}

   而之前的式 12 给出了另外 3 条($\bvec\omega$ 关于时间的导数)

\begin{equation} \dvTwo{\bvec \omega}{t} = \mat R \mat I_0^{-1} \mat R\Tr \qtyRound{\bvec \tau - \mat \Omega \mat R \mat I_0 \mat R\Tr \bvec\omega} \end{equation}
其中 $\mat I_0$ 是体坐标系中的惯性张量, $\mat R$ 是体坐标系到实验室坐标系的旋转矩阵, $\bvec\tau$ 是力矩(已知). 注意现在我们可以用四元数 $\bvec q$ 表示 $\mat R$ (式 2 ). 这样就得到了所有的运动方程.

   用数值计算来解这个方程见 “刚体转动数值模拟”.

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