商空间

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预备知识　二元关系，子空间

　　¹设 $W$ 是 $n$ 维矢量空间 $V$ 的一个 $m$ 维子空间。我们想通过 $W$ 来定义 $V$ 中元素的一个等价关系，并由此得到 $V$ 的一个分类。对于 $v_1,v_2\in V$，如果 $v_1-v_2\in W$，则称它们是关于 $\bmod W $ 相合的，记为 $v_1=v_2$。不难证明这是一个等价关系。因此，它就确定了 $V $ 的一个分类。元素 $v $ 关于 $\bmod W $ 的相合类，即 $V $ 中所有与 $v $ 关于 $\bmod W $ 的相合的元的全体，用符号 $(v) $ 标记。这样，有相合类为元素的商集合

\begin{equation} V / W=\{(v) | v \in V\}~. \end{equation}

　　现在我们在商集合 $V/W $ 中引入线性运算，使它也成为一个线性空间。当然这种线性运算应与 $V $ 中原有的线性运算要有联系。为此，对于相合类的加法和数乘，我们自然采用下列定义

\begin{equation} \begin{array}{l}\left(v_{1}\right)+\left(v_{2}\right)=\left(v_{1}+v_{2}\right)~, \\ a(v)=(a v)\qquad (a \in K)~. \end{array} \end{equation}

这里的定义与相合类的代表的选取无关，故是有意义的，容易证明 $V/W $ 在这些运算下构成体 $K $ 上的矢量空间。$V/W $ 称为 $V $ 关于 $\bmod W$ 的商空间，$(0)$ 然是它的零元。

　　下面我们再来分析一下 $V,W$ 和 $V/W $ 三者基之间的关系。设 $u_1,u_2,\cdots,u_m$ 是 $W $ 的一个基。我们再补充 $n- m$ 个元素 ${u}_{m+1}, \cdots {u}_{n}$ 使 $u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$ 成为 $V$ 的一个基。于是对 $V $ 中任一元 $v=a^iu_i$ 所确定的相合类，有

\begin{equation} (v)=\left(a^{i} u_{i}\right)=a^{i}\left(u_{i}\right)~. \end{equation}

（未完成）

1. ^ 参考《物理学中的几何方法》

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