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四元数与旋转矩阵

预备知识 绕轴旋转矩阵, 旋转矩阵的导数

   我们可以用四元数(quaternions ) $ \boldsymbol{\mathbf{q}} = [s, \boldsymbol{\mathbf{v}} ]$ 来表示绕轴旋转矩阵, 其中

\begin{equation} s = \cos\left(\theta/2\right) \qquad v = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert = \sin\left(\theta/2\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \end{equation}
则绕轴旋转矩阵可以表示为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} (\theta) = \begin{pmatrix} 1 - 2v_y^2 - 2v_z^2 & 2v_xv_y - 2sv_z & 2v_x v_z + 2s v_y\\ 2v_x v_y + 2sv_z & 1 - 2v_x^2 - 2v_z^2 & 2v_y v_z - 2s v_x\\ 2v_x v_z - 2s v_y & 2v_y v_z + 2s v_x & 1 - 2v_x^2 - 2v_y^2 \end{pmatrix} \end{equation}

   四元数的乘法运算可以表示两个旋转矩阵相乘, 即把两次旋转合并为一次旋转

\begin{equation} [s_1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _1] [s_2, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2] = [s_1 s_2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, s_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 + s_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _2] \end{equation}

   若从坐标系 B 到坐标系 A 的基底变换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $, 当 B 绕原点以角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 旋转时有

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} $ 乘以任意位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 等于 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} $
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y\\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{pmatrix} \end{equation}
若旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 对应的四元数为 $ \boldsymbol{\mathbf{q}} $, 则
\begin{equation} \dot { \boldsymbol{\mathbf{q}} }(t) = \frac12 [0, \boldsymbol{\mathbf{\omega}} (t)] \boldsymbol{\mathbf{q}} (t) \end{equation}

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