图

简谐振子(级数)

预备知识 简谐振子(升降算符)

结论

   量子力学中, 简谐振子的能级为

\begin{equation} E_n = \qtyRound{\frac12 + n}\hbar \omega \end{equation}
波函数为
\begin{equation} \psi_n (x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \qtyRound{\frac{\alpha^2}{\pi }}^{1/4} H_n(u) \E^{-u^2/2} \end{equation}
其中
\begin{equation} \alpha \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar }} \qquad u \equiv \alpha x \end{equation}
$H_n(u)$ 叫做 Hermite 多项式
\begin{equation} H_n(u) \equiv (- 1)^n \E^{u^2} \dv[n]{u} \qtyRound{\E^{-u^2}} \end{equation}
前 6 阶 Hermite 多项式分别为
\begin{equation} \begin{array}{l} H_0(u) = 1\\ H_1(u) = 2u\\ H_2(u) = 4u^2 - 2 \end{array} \qquad \begin{array}{l} H_3(u) = 8u^3 - 12u\\ H_4(u) = 16u^4 - 48u^2 + 12\\ H_5(u) = 32u^5 - 160u^3 + 120u \end{array} \end{equation}
前 4 个波函数分别为(注意函数的奇偶性与角标的奇偶性相同)
\begin{equation}\ali{ \psi_0(x) &= \qtyRound{\frac{\alpha^2}{\pi}}^{1/4} \E^{-u^2/2} & \psi_2(x) &= \qtyRound{\frac{\alpha^2}{\pi }}^{1/4} \frac{1}{\sqrt 2 } (2u^2 - 1)\E^{-u^2/2}\\ \psi_1(x) &= \qtyRound{\frac{\alpha ^2}{\pi }}^{1/4} \sqrt2u \E^{-u^2/2} \quad & \psi_3(x) &= \qtyRound{\frac{\alpha ^2}{\pi }}^{1/4} \frac{1}{\sqrt 3} u(2u^2 - 3)\E^{-u^2/2} }\end{equation}

推导

   薛定谔方程为

\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \dvTwo[2]{\psi}{x} + \frac12 m \omega^2 x^2\psi = E\psi \end{equation}

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