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简谐振子升降算符归一化

预备知识 简谐振子(量子)

   首先要提醒的是,一般算符满足的一个条件是 $ \langle{g}|{ \hat{Q} f}\rangle = \langle{ \hat{Q} ^\dagger g}|{f}\rangle $. 但是对于厄米算符, $ \hat{Q} ^\dagger = \hat{Q} $, 所以有 $ \langle{g}|{ \hat{Q} f}\rangle = \langle{ \hat{Q} g}|{f}\rangle $.

   对于谐振子的升降算符 $a_\pm = (m\omega x \mp \mathrm{i} p)/\sqrt{2m\omega\hbar}$, 有

\begin{equation} \begin{aligned} a_- a_+ &= \frac{1}{2m\omega\hbar} (m^2 \omega ^2 x^2 + p^2 - \mathrm{i} m\omega \left[x, p\right] )\\ &= \frac{1}{\omega\hbar} \left[\frac{1}{2m} (m^2\omega ^2 x^2 + p^2) + \frac{\omega\hbar}{2} \right] \\ &= \frac{1}{\omega \hbar } H + \frac12 \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \left\lvert a_+\psi_n \right\rvert ^2 &= \left\langle{a_+\psi_n}\middle| a_+\psi_n \right\rangle = \left\langle \psi_n \middle| a_- a_+\psi_n \right\rangle = \left\langle \psi_n \middle| \left(\frac{1}{\omega\hbar} H + \frac12 \right) \psi_n \right\rangle \\ &= \left(n+ \frac12 \right) + \frac12 = n+1 \end{aligned} \end{equation}
所以有 $a_+ \psi_n = \sqrt{n + 1} \psi_{n+1}$ (同理 $a_- \psi_n = \sqrt n \,\psi_{n - 1}$ ). 再次提醒,归一化系数后面可以加上任意相位因子 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}$, 同样能满足归一化条件,但一般省略.

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