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简谐振子升降算符归一化

预备知识 简谐振子(量子)

   首先要提醒的是,一般算符满足的一个条件是 $\braketStarTwo{g}{\Q Q f}=\braketStarTwo{\Q Q\Her g}{f}$. 但是对于厄米算符, $\Q Q\Her = \Q Q$, 所以有 $\braketStarTwo{g}{\Q Q f} = \braketStarTwo{\Q Q g}{f}$.

   对于谐振子的升降算符 $a_\pm = (m\omega x \mp \I p)/\sqrt{2m\omega\hbar}$, 有

\begin{equation}\ali{ a_- a_+ &= \frac{1}{2m\omega\hbar} (m^2 \omega ^2 x^2 + p^2 - \I m\omega \comm{x}{p})\\ &= \frac{1}{\omega\hbar} \qtySquare{\frac{1}{2m} (m^2\omega ^2 x^2 + p^2) + \frac{\omega\hbar}{2}}\\ &= \frac{1}{\omega \hbar } H + \frac12 }\end{equation}
\begin{equation}\ali{ \abs{a_+\psi_n}^2 &= \braket{a_+\psi_n} = \braketTwo{\psi_n}{a_- a_+\psi_n} = \braketTwo{\psi_n}{\qtyRound{\frac{1}{\omega\hbar} H + \frac12}\psi_n} \\ &= \qtyRound{n+ \frac12} + \frac12 = n+1 }\end{equation}
所以有 $a_+ \psi_n = \sqrt{n + 1} \psi_{n+1}$ (同理 $a_- \psi_n = \sqrt n \,\psi_{n - 1}$ ).\\ 再次提醒,归一化系数后面可以加上任意相位因子 $\E^{\I\theta}$, 同样能满足归一化条件,但一般省略.

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