图

平均值(量子力学)

预备知识 测量理论

   我们先来回顾测量理论. 假设某个物理量 $Q$ 有离散的本征态 $\ket{\phi_i}$ ($i = 1,2\dots$), 对应的本征值为 $q_i$, 满足

\begin{equation} Q\ket{\phi_i} = q_i \ket{\phi_i} \end{equation}
且满足正交归一条件
\begin{equation} \braketTwo{\phi_i}{\phi_j} = \delta_{i,j} \end{equation}

   记粒子处于 $\ket{\psi}$ 状态, 可表示为本征态的线性组合

\begin{equation} \ket{\psi} = \sum_i c_i \ket{\phi_i} \end{equation}
对其测量 $Q$, 得到第 $q_i$ 的概率为
\begin{equation} P_i = \abs{c_i}^2 = \abs{\braketTwo{\phi_i}{\psi}}^2 \end{equation}

   现在我们可以定义 $Q$ 的平均值为

\begin{equation} \ev{Q} = \sum_i P_i q_i = \abs{c_i}^2 q_i \end{equation}
这意味着, 如果我们取大量处于 $\ket{\psi}$ 状态的系统, 分别测量 $Q$ 再取平均, 结果就是该式.

   平均值还有一个更常见的公式, 与式 5 等效.

\begin{equation} \ev{Q} = \mel{\psi}{Q}{\psi} \end{equation}
要验证, 可以将式 3 带入该式, 得
\begin{equation} \begin{aligned} \ev{Q} &= \qtyRound{\sum_i c_i^* \bra{\phi_i}} Q \qtyRound{\sum_j c_j \ket{\phi_j}}\\ &= \sum_{i,j} c_i^* c_j \bra{\phi_i} Q \ket{\phi_j} \end{aligned} \end{equation}
再带入式 1 式 2
\begin{equation} \ev{Q} = \sum_{i,j} c_i^* c_j q_i \braketTwo{\phi_i}{\phi_j} = \sum_{i,j} c_i^* c_j q_i \delta_{i,j} = \sum_i \abs{c_i}^2 q_i \end{equation}
证毕.

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