图

量子力学中的变分法

   当平均能量是波函数的鞍点时, 波函数就是能量的本征态. 对一维单粒子

\begin{equation} E = \left\langle \psi \middle| H \middle| \psi \right\rangle \end{equation}
但注意这里的波函数必须已经归一化. 由于变分法需要假设任意的增量函数 $\delta \psi $, 我们只好用一个不要求归一化的能量平均值公式
\begin{equation} E = \left\langle \psi \middle| H \middle| \psi \right\rangle / \left\langle{\psi}\middle| \psi \right\rangle \end{equation}
现在假设波函数增加 $\delta \psi$
\begin{equation} E \left\langle \delta\psi \middle| \psi \right\rangle + E \left\langle \psi \middle| \delta\psi \right\rangle = \left\langle \delta \psi \middle| H \middle| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \middle| H \middle| \delta\psi \right\rangle \end{equation}
由于 $\delta\psi$ 是任意的, 我们也可以使用 $ \mathrm{i} \delta\psi$
\begin{equation} -E \left\langle \delta\psi \middle| \psi \right\rangle + E \left\langle \psi \middle| \delta\psi \right\rangle = - \left\langle \delta\psi \middle| H \middle| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \middle| H \middle| \delta\psi \right\rangle \end{equation}
以上两式等效, 两式相减, 得(相当于 $\psi^*$ 与 $\psi$ 是两个独立的变量函数)
\begin{equation} E \left\langle \delta\psi \middle| \psi \right\rangle = \left\langle \delta\psi \middle| H \middle| \psi \right\rangle \end{equation}
该式对任意微小函数增量 $\delta\psi $ 都要求成立. 现在如果令 $\delta \psi = \delta (x)$, 我们得到薛定谔方程
\begin{equation} H \left\lvert \psi \right\rangle = E \left\lvert \psi \right\rangle \end{equation}
归一化条件下的变分法也可以由拉格朗日乘数法完成, 令
\begin{equation} L = \left\langle \psi \middle| H \middle| \psi \right\rangle - \lambda [ \left\langle{\psi}\middle| \psi \right\rangle - 1] \end{equation}
类似以上过程, 同样有
\begin{equation} \left\langle \delta\psi \middle| H \middle| \psi \right\rangle - \lambda \left\langle \delta\psi \middle| \psi \right\rangle = 0 \end{equation}
\begin{equation} H \left\lvert \psi \right\rangle = \lambda \left\lvert \psi \right\rangle \end{equation}
显然, 乘数 $\lambda $ 就是本征态能量.

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