图

量子力学中的变分法

   当平均能量是波函数的鞍点时, 波函数就是能量的本征态. 对一维单粒子

\begin{equation} E = \evTwo{H}{\psi} \end{equation}
但注意这里的波函数必须已经归一化. 由于变分法需要假设任意的增量函数 $\delta \psi $, 我们只好用一个不要求归一化的能量平均值公式
\begin{equation} E = \evTwo{H}{\psi} /\braket{\psi} \end{equation}
现在假设波函数增加 $\delta \psi$
\begin{equation} E \braketTwo{\delta\psi}{\psi} + E\braketTwo{\psi}{\delta\psi} = \mel{\delta \psi}{H}{\psi} + \mel{\psi}{H}{\delta\psi} \end{equation}
由于 $\delta\psi$ 是任意的, 我们也可以使用 $\I\delta\psi$
\begin{equation} -E \braketTwo{\delta\psi}{\psi} + E \braketTwo{\psi}{\delta\psi} = -\mel{\delta\psi}{H}{\psi} + \mel{\psi}{H}{\delta\psi} \end{equation}
以上两式等效, 两式相减, 得(相当于 $\psi^*$ 与 $\psi$ 是两个独立的变量函数)
\begin{equation} E\braketTwo{\delta\psi}{\psi} = \mel{\delta\psi}{H}{\psi} \end{equation}
该式对任意微小函数增量 $\delta\psi $ 都要求成立. 现在如果令 $\delta \psi = \delta (x)$, 我们得到薛定谔方程
\begin{equation} H \ket{\psi} = E\ket{\psi} \end{equation}
归一化条件下的变分法也可以由拉格朗日乘数法完成, 令
\begin{equation} L = \evTwo{H}{\psi} - \lambda [\braket{\psi} - 1] \end{equation}
类似以上过程, 同样有
\begin{equation} \mel{\delta\psi}{H}{\psi} - \lambda\braketTwo{\delta\psi}{\psi} = 0 \end{equation}
\begin{equation} H \ket{\psi} = \lambda \ket{\psi} \end{equation}
显然, 乘数 $\lambda $ 就是本征态能量.

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