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电磁场中的单粒子薛定谔方程

预备知识 电磁场标势和矢势, 量子力学基本假设

  1电动力学中,电磁场中单个粒子的哈密顿量为

\begin{equation} H = \frac{1}{2m} (\bvec p - q\bvec A)^2 + q\varphi \end{equation}
其中 $\varphi$ 和 $\bvec A$ 分别是电磁场的标势和矢势,$\bvec p$ 是广义动量,
\begin{equation} \bvec p = q\bvec A + m \dot{\bvec r} \end{equation}
这个公式适用于任意规范.

   转换为量子力学中的算符为

\begin{equation} \ali{ H &= \frac{\bvec p^2}{2m} - \frac{q}{2m} (\bvec A \vdot \bvec p + \bvec p \vdot \bvec A) + \frac{q^2}{2m} \bvec A^2 + q \varphi\\ &= -\frac{1}{2m} \laplacian + \I \frac{q}{2m} (\bvec A \vdot \Nabla + \Nabla \vdot \bvec A) + \frac{q^2}{2m} \bvec A^2 + q\varphi }\end{equation}
注意其中 $\bvec p = -\I\Nabla$ 代表的是广义动量而不是 $m\bvec v$, $\Nabla \vdot \bvec A$ 是指先把波函数乘以矢势再取散度而不是直接对 $\bvec A$ 取散度(想想量子力学中算符相乘的定义).

   电磁场的规范变换(式 3 )导致波函数发生相位变化

\begin{equation} \Psi'(\bvec r, t) = \exp[\I q\chi(\bvec r, t)] \Psi(\bvec r, t) \end{equation}
其中 $\chi$ 是式 3 中的任意标量函数 $\lambda$.

   在库仑规范下,式 3 变为

\begin{equation} H = -\frac{1}{2m} \laplacian + \I \frac{q}{m} \bvec A \vdot \Nabla + \frac{q^2}{2m} \bvec A^2 + q\varphi \end{equation}
这是因为
\begin{equation} \div (\bvec A \Psi) = (\div \bvec A) \Psi + \bvec A \vdot (\grad \Psi) = \bvec A \vdot (\grad \Psi) \end{equation}


1. 本词条使用原子单位

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