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电磁场中的单粒子薛定谔方程

预备知识 电磁场标势和矢势, 量子力学基本假设

  1电动力学中,电磁场中单个粒子的哈密顿量为

\begin{equation} H = \frac{1}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{p}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2 + q\varphi \end{equation}
其中 $\varphi$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 分别是电磁场的标势和矢势,$ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 是广义动量,
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = q \boldsymbol{\mathbf{A}} + m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}
这个公式适用于任意规范.

   转换为量子力学中的算符为

\begin{equation} \begin{aligned} H &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 + q \varphi\\ &= -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + \mathrm{i} \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} + \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 + q\varphi \end{aligned} \end{equation}
注意其中 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = - \mathrm{i} \boldsymbol{\nabla} $ 代表的是广义动量而不是 $m \boldsymbol{\mathbf{v}} $, $ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是指先把波函数乘以矢势再取散度而不是直接对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 取散度(想想量子力学中算符相乘的定义).

   电磁场的规范变换(式 3 )导致波函数发生相位变化

\begin{equation} \Psi'( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left[ \mathrm{i} q\chi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)\right] \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \end{equation}
其中 $\chi$ 是式 3 中的任意标量函数 $\lambda$.

   在库仑规范下,式 3 变为

\begin{equation} H = -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + \mathrm{i} \frac{q}{m} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 + q\varphi \end{equation}
这是因为
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \Psi) = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \Psi + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla \Psi) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla \Psi) \end{equation}


1. 本词条使用原子单位

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