图

轨道角动量升降算符归一化

预备知识 轨道角动量

   首先要提醒,一般来说,算符满足的一个条件是 $\braketStarTwo{g}{\Q Qf} = \braketStarTwo{\Q Q^*g}{f}$. 但是对于厄米算符, $\Q Q^* = \Q Q$, 所以有 $\braketStarTwo{g}{\Q Qf} = \braketStarTwo{\Q Qg}{f}$.

   对于角动量升算符

\begin{equation} L_+ L_- = (L_x + \I L_y)(L_x - \I L_y) = L_x^2 + L_y^2 - \I \comm{L_x}{L_y} = L^2 - L_z^2 + \hbar L_z \end{equation}
所以
\begin{equation}\ali{ L_+ L_- \psi_{l,m} &= \hbar^2 l(l + 1) \psi_{l,m} - \hbar^2 m^2 \psi_{l,m} + m\hbar^2 \psi_{l,m}\\ &= \hbar^2 [l(l + 1) - m(m - 1)] \psi_{l,m} }\end{equation}
所以
\begin{equation} \braketStarTwo{L_- \psi_{l,m}}{L_+ \psi_{l,m}} = \braketStarTwo{\psi_{l,m}}{L_+L_-\psi_{l,m}} = \hbar^2 [l(l + 1) - m(m - 1)] \end{equation}
所以
\begin{equation} L_- \psi_{l,m} = \hbar \sqrt{l(l + 1) - m(m - 1)} \psi_{l, m-1} \end{equation}
同理可证
\begin{equation} L_+ \psi_{l,m} = \hbar\sqrt{l(l + 1) - m(m + 1)} \psi_{l, m+1} \end{equation}
严格来说,归一化系数后面加上任意相位因子 $\E^{\I \theta}$ 后仍能满足式 3 , 但一般省略.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利