量子气体（巨正则系宗）
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假设 $N$ 个玻色子（不可区分）之间没有互相作用，每个粒子具有能级 $\varepsilon_i$（这里先假设每个粒子都只有 $m$ 个能级而不是无穷多个，最后再说明 $m \to \infty $ 时成立）。化学势为 $\mu $， 则巨配分函数为
\begin{equation} \begin{aligned}
\Xi & = \sum_{N=0}^\infty \sum_{\{n_i\} }^* \mathrm{e} ^{(N\mu - \varepsilon_i)\beta}
= \sum_{N=0}^\infty \sum_{\{n_i\}}^* {z^N} \exp\left(- \beta \sum_i^m n_i \varepsilon_i\right) \\
& = \sum_{N=0}^\infty \sum_{\{ {n_i}\} }^* \left(\prod_{i=1}^\infty z^{n_i} \right) \left(\prod_{i=1}^\infty ( \mathrm{e} ^{-\beta \varepsilon_i})^{n_i} \right)
= \sum_{N=0}^\infty \sum_{\{n_i\}}^* \prod_{i=1}^\infty (z \mathrm{e} ^{-\beta\varepsilon_i})^{n_i}~.
\end{aligned} \end{equation}
其中 $\sum_{\{n_i\} }^ * {} $ 求和时，由于同一个能级上的玻色子数量不限，限制条件仅为 $\sum_i^m {n_i} = N$（对于费米子，由于不相容原理，要求 $\sum_i^m {n_i} = N$ 以及 ${n_i} \leqslant 1$）。
巨正则系综的最大优势就是可以利用关系
\begin{equation}
\sum_{N=0}^\infty \sum_{\{n_i\}}^ * (\dots) = \sum_{n_1 = 0}^\infty \sum_{n_2=0}^\infty \dots \sum_{m = 0}^\infty (\dots)~.
\end{equation}
于是
\begin{equation} \begin{aligned}
\Xi & = \sum_{N = 0}^\infty \sum_{\{ {n_i}\} }^ * \prod_{i=1}^\infty {(z{ \mathrm{e} ^{ - \beta {\varepsilon_i}}})}^{n_i}
= \sum_{n_1=0}^\infty \sum_{{n_2} = 0}^\infty \dots \sum_{n_m=0}^\infty \prod_{i=1}^\infty {(z{ \mathrm{e} ^{ - \beta {\varepsilon_i}}})}^{n_i}\\
& = \sum_{n_1=0}^\infty (z \mathrm{e} ^{-\beta \varepsilon_1})^{n_1} \sum_{n_2=0}^\infty (z \mathrm{e} ^{ - \beta\varepsilon_2})^{n_2} \dots \sum_{n_m = 0}^\infty (z \mathrm{e} ^{-\beta\varepsilon_m})^{n_m}\\
& = \prod_{i = 1}^m \sum_{n_i}^\infty (z \mathrm{e} ^{-\beta\varepsilon_i})^{n_i} ~.
\end{aligned} \end{equation}
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