图

量子气体(单能级巨正则系综法)

   我们可以把一个包含许多粒子的系统看做热池, 把每个能级 ${\varepsilon_i}$ 看做一个系统. 为了便于理解, 可以把能级想象成一个盒子, 所有处于该能级的粒子都在盒内, 都具有能量 $\varepsilon_i$. 当 $\varepsilon_i$ 系统中粒子数为 $n_i$ 时, 系统的总能量为 $E = n_i \varepsilon_i$. 注意对于一个 $n_i$, 由于同种粒子不可区分, 系统只有一种状态, 所以在当前系统的巨配分函数中, 对能量的求和只有一项.

\begin{equation}\ali{ \Xi & = \sum_{n_i} \sum_{E_j}^{} \E^{(n_i\mu - E_j)\beta} = \sum_{n_i} \E^{(n_i\mu - E)\beta} \\ & = \sum_{n_i} \E^{(n_i\mu - n_i \varepsilon_i)\beta} = \sum_{n_i} \qtySquare{\E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta}}^{n_i} }\end{equation}
系统( $\varepsilon_i$ 能级)中的平均粒子数为
\begin{equation}\ali{ \ev{n_i} & = \frac{1}{\Xi }\sum_{n_i} \sum_{E_j} n_i \E^{(n_i\mu - E_j)\beta}\\ & = \frac{1}{\Xi } \sum_{n_i} n_i \qtySquare{\E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta }}^{n_i} }\end{equation}

费米子

   由于泡利不相容原理, 一个能级只能存在 $0$ 或 $1$ 个费米子(这里忽略自旋).

\begin{equation} \Xi = \sum_{n_i = 0}^1 {{\qtySquare{\E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta}}}^{n_i}} = 1 + \E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta} \end{equation}
${\varepsilon_i}$ 能级的平均粒子数为
\begin{equation} \begin{aligned} \ev{n_i} & = \frac{1}{\Xi } \sum_{n_i=0}^1 n_i \qtySquare{\E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta}}^{n_i} = \frac{0 + \E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta }}{1 + \E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta}} = \frac{1}{\E^{(\varepsilon_i - \mu)\beta} + 1} \end{aligned} \end{equation}
这就是著名的费米—狄拉克分布

玻色子

   任何能级都允许同时存在任意数量的玻色子, 所以上面两式中对 ${n_i}$ 的求和上限变为正无穷即可(见等比数列求和以及类等比数列求和). 但为了使求和收敛, 必须要求 $\E^{(\varepsilon_i - \mu)\beta} - 1 > 0$, 或者 $\mu < \varepsilon_i$.

\begin{equation} \Xi = \sum_{n_i = 0}^\infty \qtySquare{\E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta}}^{n_i} = \frac{1}{1 - \E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta}} \end{equation}
\begin{equation}\ali{ \ev{n_i} & = \frac{1}{\Xi } \sum_{n_i = 0}^1 n_i \qtySquare{\E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta}}^{n_i} = \qtySquare{1 - \E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta}} \frac{\E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta }}{\qtySquare{1 - \E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta}}^2} = \frac{1}{\E^{(\varepsilon_i - \mu)\beta} - 1} }\end{equation}
这就是著名的玻色—爱因斯坦分布

   当每个能级的平均粒子数 $\ev{n_i}$ 都很小时, 即 $\ev{n_i} \ll 1$ 时, $\ev{n_i} = 1/(\E^{(\varepsilon_i - \mu)\beta} \pm 1)$ 的分母 $ \gg 1$, 分布可以近似为

\begin{equation} \ev{n_i} = \frac{1}{\E^{(\varepsilon_i - \mu )\beta }} = \E^{(\mu - \varepsilon_i)\beta} \end{equation}
这就是麦克斯韦—玻尔兹曼分布, 对应理想气体. 由此可见, 当 该分布的总粒子数为
\begin{equation} N = \sum_i^\infty \ev{n_i} = \E^{\mu \beta}\sum_i^\infty \E^{-\varepsilon_i\beta} = zQ_1 \end{equation}
为了验证该式的正确性, 代入理想气体的化学势和单粒子配分函数, 上式成立.
\begin{equation} \mu = kT\ln \frac{N\lambda^3}{V} \qquad Q_1 = \frac{V}{\lambda ^3} \end{equation}
这种方法虽然可以简单地求出分布函数, 但却不能求出其他物理量, 例如量子气体的压强, 熵, 等. 因为我们的系统只包含一个能级, 而不是大量粒子. 要使用标准的巨正则系综, 必须把包含大量粒子的量子气体作为系统, 并考虑每个粒子数对应的所有可能的能级分布.

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