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解三棱锥顶角

预备知识 高中立体几何
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图1:(左图)已知 $\theta_1$, $\theta_2$ 和 $\phi$ 求 $\alpha$; (右图) 已知 $\theta$ 和 $\phi$ 求 $\gamma$

   我们考虑如图三棱锥顶点 $O$ 处的 3 条棱和 3 个面之间的角度关系. 这里涉及了三种角: 两条棱之间的夹角(线线角) $\theta$,棱和面的夹角(线面角) $\gamma$, 以及面和面的夹角(面面角) $\phi$. 对给定的顶点, 每种角都有各有 9 个,共 9 个. 我们先不讨论底面 $ABC$ 的位置如何,如果顶点的三条棱的方向都确定, 我们就说顶点的形状确定.

   显然, 我们无需知道所有 9 个角的大小才能确定顶点的形状. 这里给出一个类似于三角形余弦定理的公式, 将线线角和面面角联系起来. 线线角可以类比余弦定理中的边长, 面面角类比余弦定理中的夹角.

\begin{equation} \cos\alpha = \cos\theta_1 \cos\theta_2 + \sin\theta_1 \sin\theta_2 \cos\phi \end{equation}
如果已知该式中的 4 个角中的 3 个, 就可以求出另一个角. 与余弦定理类似, 在求解 $\theta_1$ 或 $\theta_2$ 时可能存在两个解, 也可能无解. 注意如果我们交换 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 的值, 上式仍然满足(这相当于创造一个镜像三棱锥).

   一个关于线面角的常用公式是

\begin{equation} \sin\gamma = \sin\phi\sin\theta_1 \end{equation}
其中 $\gamma$ 是线段 $OB$ 和三角形 $OAC$ 的线面角.

例1 已知三个线线角求线面角

   若已知 $\theta_1$, $\theta_2$ 和 $\alpha$, 则

\begin{equation} \cos\phi = \frac{\cos\alpha - \cos\theta_1 \cos\theta_2}{\sin\theta_1 \sin\theta_2} \end{equation}

证明

   我们可以用球坐标系来证明式 1 . 令极坐标 $(\theta_1, \phi_1)$ 和 $(\theta_2, \phi_2)$ 代表的两个单位矢量的坐标分别为

\begin{equation} (\sin\theta_1\cos\phi_1, \sin\theta_1\sin\phi_1, \cos\theta_1) \qquad (\sin\theta_2\cos\phi_2, \sin\theta_2\sin\phi_2, \cos\theta_2) \end{equation}
\begin{equation} \cos\alpha = \cos\theta_1 \cos\theta_2 + \sin\theta_1 \sin\theta_2 \cosRound{\phi_2 - \phi_1} \end{equation}
证毕.

   再来证明式 2 , 我们仍然使用球坐标, 将射线 OA 作为极轴, 面 OAC 为 $xz$ 平面, 线面角中“线” 的极坐标为 $(1, \theta, \phi)$, 该点的 $y$ 坐标为 $\sin\theta \sin\phi$ 而 $y = \sin\gamma$, 所以 $\sin\gamma = \sin\theta \sin\phi$. 证毕.

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