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极坐标系

预备知识 平面直角坐标系, 位置矢量, 四象限 Arctan 函数
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图 1:极坐标系和两个单位矢量

   在平面上上取一个点作为原点, 过原点作一条轴称为极轴, 并选定极轴的正方向,规定单位长度. 该平面上某点与原点连成的线段叫做极径, 其长度一般用 $r$ (或 $\rho$ )表示.若 $r$ 为负值, 则表示反方向的长度. 极径与极轴的夹角叫做极角(规定逆时针旋转极角增加,顺时针旋转则减少),用 $\theta $ 表示. $\theta$ 的值通常表示成弧度, 取值范围一般选 $(-\pi, \pi]$ 或 $[0, 2\pi)$. 于是任何一点都可以用两个有序实数 $(r,\theta)$ 来表示其在该平面上的位置,这就是一个点的极坐标

   为了表示一个坐标对应的单位矢量, 我们一般把坐标变量名记为粗体并在上方加一个标记. 例如直角坐标系中, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ (有时也记为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{i}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{j}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $ )代表 $x,y,z$ 轴方向的单位矢量. 在极坐标中, 定义 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 为 $r$ 增加的方向的单位矢量, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 为 $\theta$ 坐标增加方向的单位矢量(即 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 逆时针旋转 $\pi/2$ 的方向). $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 互相垂直,构成一对单位正交基底,平面上的任意矢量都可以正交分解到这两个方向上. 我们通常把 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的方向叫做径向,把 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 的方向叫做法向. 要注意极坐标中的两个单位矢量是 $\theta$ 的函数, 对于不同的 $\theta$, 它们的方向也不同.

习题1 

   试证明极坐标方程 $r = r_0/ \cos\left(\theta - \theta_0\right) $ 和 $r = 2R \cos\left(\theta - \theta_0\right) $ 分别表示一条直线和一个圆.

与直角坐标的转换

   要在极坐标系的基础上建立一个直角坐标系, 习惯的做法是取原点相同, 且令 $x$ 轴与极轴重合, $y$ 轴取 $\theta = \pi/2$ 的方向. 这样将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 展开, 就得到

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = r\cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{equation}
\begin{equation} \begin{cases} x = r\cos\theta\\ y = r\sin\theta \end{cases} \end{equation}
这样就从极坐标转换成为直角坐标.

   要从直角坐标转换为极坐标, 首先由勾股定理有 $r^2 = x^2 + y^2$. 使用反正切函数, 我们可以表示 $x > 0$ 或 $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ 时的 $\theta$, 即 $\theta = \arctan\left(y/x\right) $. 为了表示任意情况我们可以使用 $ \operatorname{Arctan} $ 函数式 1 . 这样, 从直角坐标转到极坐标的转换就可以表示为

\begin{equation} \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2}\\ \theta = \operatorname{Arctan} (y, x) \end{cases} \end{equation}
根据 $ \operatorname{Arctan} $ 的定义(式 1 ), $\theta$ 的范围是 $(-\pi, \pi]$.

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