图

极坐标中的曲线方程

预备知识 极坐标

   极坐标系中, 我们可以用一元函数

\begin{equation} r = f(\theta) \end{equation}
表示一条曲线. 简单的例子如阿基米德螺线 或圆锥曲线. 以下我们讨论如何从函数中计算曲线的一些特征.

计算某点切线的方向

预备知识 导数

   在 $x$-$y$ 平面直角坐标系中, 我们可以通过求导($ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $)计算曲线某点切线, 那么式 1 表示的极坐标中如何求某点切线的方向呢? 可以证明, 切线与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 方向的夹角为

\begin{equation} \alpha = \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{\theta}} = \frac{f'(\theta)}{f(\theta)} \end{equation}
或者说与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 方向的夹角为 $\pi/2 - \alpha$.

   (推导未完成)

曲线长度

预备知识 定积分

   若用 $\theta \in [\theta_1, \theta_2]$, 来表示曲线的一段, 那么其长度为

\begin{equation} l = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{f(\theta)^2 + f'(\theta)^2} \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}

   (推导未完成)

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