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极坐标中的速度和加速度

         

预备知识 速度 加速度, 极坐标中单位矢量的偏导

   若已知某点的极坐标关于时间的函数 $r(t)$ 和 $\theta (t)$, 求该点的速度和加速度.

   极坐标中的位置矢量可以用 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 表示, 注意其中径向单位矢量可以看做复合函数 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} [\theta(t)]$.根据定义, 速度是位矢的一阶导数, 在力学中经常在变量上面加一点表示对时间的一阶导数, 两点表示二阶导数, 根据矢量的求导法则

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \dot r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \frac{\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
由链式法则和式 1 , 上式中
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }}{\mathrm{d}{\theta}} \dot \theta = \dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \end{equation}
所以极坐标中的速度为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \dot r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \end{equation}
这是符合直觉的, 径向速度等于位矢模长的导数, 而角向速度等于位矢模长乘以角速度.

   我们再来计算加速度, 用同样的方法对速度求一阶导数得

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{a}} &= \ddot r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \dot r \frac{\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }}{\mathrm{d}{t}} + \dot r \dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + r\ddot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + r\dot \theta \frac{\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} }}{\mathrm{d}{t}} \\ &= \ddot r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \dot r \dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \dot r \dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + r\ddot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} - r{\dot \theta }^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \\ &= (\ddot r - r{\dot \theta}^2) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + (2\dot r\dot \theta + r\ddot\theta) \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \end{aligned} \end{equation}
这个结论并不是那么显而易见. 我们将加速度的径向和角向分量分别记为 $a_r$ 和 $a_\theta$, 其中 $a_\theta$ 还可以记为另一种更紧凑形式即
\begin{equation} a_\theta = \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(r^2 \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} \right) \end{equation}

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