图

极坐标中的速度和加速度

预备知识　速度 加速度， 极坐标中单位矢量的偏导

　　 若已知某点的极坐标关于时间的函数 $r(t)$ 和 $\theta (t)$， 求该点的速度和加速度．

　　 极坐标中的位置矢量可以用 $\bvec r = r\uvec r$ 表示， 注意其中径向单位矢量可以看做复合函数 $\uvec r[\theta(t)]$．根据定义， 速度是位矢的一阶导数， 在力学中经常在变量上面加一点表示对时间的一阶导数， 两点表示二阶导数， 根据矢量的求导法则

\begin{equation} \bvec v = \dot r \uvec r + r \dvTwo{\uvec r}{t} \end{equation}
由链式法则和式 1 ， 上式中
\begin{equation} \dvTwo{\uvec r}{t} = \dvTwo{\uvec r}{\theta} \dot \theta = \dot \theta \uvec \theta \end{equation}
所以极坐标中的速度为
\begin{equation} \bvec v = \dot r \uvec r + r \dot \theta \uvec \theta \end{equation}
这是符合直觉的， 径向速度等于位矢模长的导数， 而角向速度等于位矢模长乘以角速度．

　　 我们再来计算加速度， 用同样的方法对速度求一阶导数得

\begin{equation}\ali{ \bvec a &= \ddot r \uvec r + \dot r \dvTwo{\uvec r}{t} + \dot r \dot \theta \uvec \theta + r\ddot \theta \uvec \theta + r\dot \theta \dvTwo{\uvec \theta}{t}\\ &= \ddot r \uvec r + \dot r \dot \theta \uvec \theta + \dot r \dot \theta \uvec \theta + r\ddot \theta \uvec \theta - r{\dot \theta }^2 \uvec r\\ &= (\ddot r - r{\dot \theta}^2) \uvec r + (2\dot r\dot \theta + r\ddot\theta)\uvec \theta }\end{equation}
这个结论并不是那么显而易见． 我们将加速度的径向和角向分量分别记为 $a_r$ 和 $a_\theta$， 其中 $a_\theta$ 还可以记为另一种更紧凑形式即
\begin{equation} a_\theta = \frac{1}{r}\dv{t} \qtyRound{r^2\dvTwo{\theta}{t} } \end{equation}

致读者： 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告，这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化，例如大量广告，内容付费，会员制，甚至被收购。因此，我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元，我们几天内就能脱离亏损状态，并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时（项目创始人）

编辑词条　返回目录　返回主页　捐助项目　© 小时物理百科 保留一切权利