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极坐标中的速度和加速度

预备知识 速度 加速度, 极坐标中单位矢量的偏导

   若已知某点的极坐标关于时间的函数 $r(t)$ 和 $\theta (t)$, 求该点的速度和加速度.

   极坐标中的位置矢量可以用 $\bvec r = r\uvec r$ 表示, 注意其中径向单位矢量可以看做复合函数 $\uvec r[\theta(t)]$.根据定义, 速度是位矢的一阶导数, 在力学中经常在变量上面加一点表示对时间的一阶导数, 两点表示二阶导数, 根据矢量的求导法则

\begin{equation} \bvec v = \dot r \uvec r + r \dvTwo{\uvec r}{t} \end{equation}
由链式法则和式 1 , 上式中
\begin{equation} \dvTwo{\uvec r}{t} = \dvTwo{\uvec r}{\theta} \dot \theta = \dot \theta \uvec \theta \end{equation}
所以极坐标中的速度为
\begin{equation} \bvec v = \dot r \uvec r + r \dot \theta \uvec \theta \end{equation}
这是符合直觉的, 径向速度等于位矢模长的导数, 而角向速度等于位矢模长乘以角速度.

   我们再来计算加速度, 用同样的方法对速度求一阶导数得

\begin{equation}\ali{ \bvec a &= \ddot r \uvec r + \dot r \dvTwo{\uvec r}{t} + \dot r \dot \theta \uvec \theta + r\ddot \theta \uvec \theta + r\dot \theta \dvTwo{\uvec \theta}{t}\\ &= \ddot r \uvec r + \dot r \dot \theta \uvec \theta + \dot r \dot \theta \uvec \theta + r\ddot \theta \uvec \theta - r{\dot \theta }^2 \uvec r\\ &= (\ddot r - r{\dot \theta}^2) \uvec r + (2\dot r\dot \theta + r\ddot\theta)\uvec \theta }\end{equation}
这个结论并不是那么显而易见. 我们将加速度的径向和角向分量分别记为 $a_r$ 和 $a_\theta$, 其中 $a_\theta$ 还可以记为另一种更紧凑形式即
\begin{equation} a_\theta = \frac{1}{r}\dv{t} \qtyRound{r^2\dvTwo{\theta}{t} } \end{equation}

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