平面波的球谐展开
\begin{equation}
\left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^l \mathrm{i} ^l Y_{lm}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \sqrt{\frac{2}{\pi}} j_l(kr) Y_{lm}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )
\end{equation}
\begin{equation}
\left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle = s_{l,m}(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r}\sqrt{\frac{2}{\pi}}kr j_l(kr) Y_{lm}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )
\end{equation}
\begin{equation}
\left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \sum_{l,m}\frac{ \mathrm{i} ^l}{k} Y_{lm}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle
\end{equation}
$ \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle $ 的完备性可以表示为
\begin{equation}
\int_0^\infty \,\mathrm{d}{k} \sum_{l,m} \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle \left\langle s_{l,m}(k) \right\rvert = I
\end{equation}
\begin{equation}
\left\lvert f \right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \,\mathrm{d}{k} \left\lvert k \right\rangle \left\langle k \middle| f \right\rangle
\end{equation}
特殊地， 如果平面波的方向指向极轴（$\theta = 0$）， 由对称性， 我们只需要 $m = 0$ 的球谐波即可组成平面波． 将 $\theta = 0$ 代入式 1 得
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kz} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1) \mathrm{i} ^l j_l(kr) P_l(\cos\theta)
\end{equation}
球谐展开函数的傅里叶变换
若三维函数具有球谐展开的形式
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r}\sum_{l,m} u_{lm}(r) Y_l^m( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )
\end{equation}
\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| f \right\rangle = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}^{3}{r}
\end{equation}
\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \frac{1}{k} \sum_{l,m} g_{l,m}(k) Y_l^m( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} )
\end{equation}
\begin{equation}
g_{l,m}(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{i} ^{-l} \int_0^{+\infty} u_{lm}(r) kr j_l(kr) \,\mathrm{d}{r}
\end{equation}
1. 由 $Y_{l,m}^* = (-1)^m Y_{l,-m}$ 易证这里的复共轭可以加在任意一个球谐函数上．
2. 由 $Y_{l,m}(- \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) = (-1)^l Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} )$ 易得 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert $．
3. 这里不作证明
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