平面波的球谐展开
\begin{equation}
\ket{\bvec k} = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\E^{\I \bvec k \vdot \bvec r} = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^l \I^l Y_{lm}^*(\uvec k) \sqrt{\frac{2}{\pi}} j_l(kr) Y_{lm}(\uvec r)
\end{equation}
\begin{equation}
\ket{s_{l,m}(k)} = s_{l,m}(k,\bvec r) = \frac{1}{r}\sqrt{\frac{2}{\pi}}kr j_l(kr) Y_{lm}(\uvec r)
\end{equation}
\begin{equation}
\ket{\bvec k} = \sum_{l,m}\frac{\I^l}{k} Y_{lm}^*(\uvec k)\ket{s_{l,m}(k)}
\end{equation}
顺带一提， 三维空间的单位算符是
\begin{equation}
\int_0^\infty \dd{k} \sum_{l,m} \ket{s_{l,m}(k)}\bra{s_{l,m}(k)}
\end{equation}
\begin{equation}
\ket{f} = \int_{-\infty}^{\infty} \dd{k} \ket{k}\braketTwo{k}{f}
\end{equation}
特殊地， 如果平面波的方向指向极轴（$\theta = 0$）， 由对称性， 我们只需要 $m = 0$ 的球面波即可组成平面波． 将 $\theta = 0$ 代入式 1 得
\begin{equation}
\E^{\I kz} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1) \I^l j_l(kr) P_l(\cos\theta)
\end{equation}
球谐展开函数的傅里叶变换
若三维函数具有球谐展开的形式
\begin{equation}
f(\bvec r) = \frac{1}{r}\sum_{l,m} u_{lm}(r) Y_l^m(\uvec r)
\end{equation}
\begin{equation}
g(\bvec k) = \braketTwo{\bvec k}{f} = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int f(\bvec r) \E^{-\I \bvec k \bvec r} \dd[3]{r}
\end{equation}
\begin{equation}
g(\bvec k) = \frac{1}{k} \sum_{l,m} g_{l,m}(k) Y_l^m(\uvec k)
\end{equation}
\begin{equation}
g_{l,m}(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \I^{-l} \int_0^{+\infty} u_{lm}(r) kr j_l(kr) \dd{r}
\end{equation}
1. 由 $Y_{l,m}^* = (-1)^m Y_{l,-m}$ 易证这里的复共轭可以加在任意一个球谐函数上．
2. 由 $Y_{l,m}(-\uvec k) = (-1)^l Y_{l,m}(\uvec k)$ 易得 $\bra{\bvec k}$．
3. 这里不作证明
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