复数形式的平面波可以展开为12
\begin{equation}
\ket{\bvec k} = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\E^{\I \bvec k \vdot \bvec r} = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^l \I^l Y_{lm}^*(\uvec k) \sqrt{\frac{2}{\pi}} j_l(kr) Y_{lm}(\uvec r)
\end{equation}
其中正交归一的
球面波为
\begin{equation}
\ket{s_{l,m}(k)} = s_{l,m}(k,\bvec r) = \frac{1}{r}\sqrt{\frac{2}{\pi}}kr j_l(kr) Y_{lm}(\uvec r)
\end{equation}
平面波
式 1 可以表示为相同能量球面波的线性组合
3
\begin{equation}
\ket{\bvec k} = \sum_{l,m}\frac{\I^l}{k} Y_{lm}^*(\uvec k)\ket{s_{l,m}(k)}
\end{equation}
顺带一提, 三维空间的单位算符是
\begin{equation}
\int_0^\infty \dd{k} \sum_{l,m} \ket{s_{l,m}(k)}\bra{s_{l,m}(k)}
\end{equation}
就像一维傅里叶变换可以表示为
\begin{equation}
\ket{f} = \int_{-\infty}^{\infty} \dd{k} \ket{k}\braketTwo{k}{f}
\end{equation}
其中 $\ket{k} = \expRound{\I kx}/\sqrt{2\pi}$.
特殊地, 如果平面波的方向指向极轴($\theta = 0$), 由对称性, 我们只需要 $m = 0$ 的球面波即可组成平面波. 将 $\theta = 0$ 代入式 1 得
\begin{equation}
\E^{\I kz} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1) \I^l j_l(kr) P_l(\cos\theta)
\end{equation}
球谐展开函数的傅里叶变换
若三维函数具有球谐展开的形式
\begin{equation}
f(\bvec r) = \frac{1}{r}\sum_{l,m} u_{lm}(r) Y_l^m(\uvec r)
\end{equation}
要做傅里叶变换
\begin{equation}
g(\bvec k) = \braketTwo{\bvec k}{f} = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int f(\bvec r) \E^{-\I \bvec k \bvec r} \dd[3]{r}
\end{equation}
将
式 3 代入上式得
\begin{equation}
g(\bvec k) = \frac{1}{k} \sum_{l,m} g_{l,m}(k) Y_l^m(\uvec k)
\end{equation}
其中
\begin{equation}
g_{l,m}(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \I^{-l} \int_0^{+\infty} u_{lm}(r) kr j_l(kr) \dd{r}
\end{equation}
例1 类氢原子基态的动量谱
类氢原子基态的波函数为(见式 2 , 使用原子单位)
\begin{equation}
\psi(\bvec r) = \frac{Z^{3/2}}{\sqrt\pi} \E^{-Zr}
\end{equation}
显然只有 $l = 0, m = 0$ 球谐项. 而 $Y_{0,0} = 1/\sqrt{4\pi}$, 所以径向波函数为
\begin{equation}
R_{00}(r) = 2 Z^{3/2} \E^{-Zr}
\end{equation}
所以傅里叶变换为(注意 $j_0(x) = \sin x/x$)
\begin{equation}
g(\bvec k) = \frac{\sqrt{2}}{k\pi} \int_0^\infty \E^{-r} \sinRound{kr} r \dd{r} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi(k^2+1)^2}
\end{equation}
\begin{equation}
g(\bvec k) = \qtyRound{\frac{2}{Z}}^{3/2} \frac{1}{\pi(k^2/Z^2 + 1)^2}
\end{equation}
我们也可以将沿 $z$ 轴正方向的三维平面波用球坐标表示(不使用球谐函数), 再在球坐标中与波函数积分, 结果相同.
1. 由 $Y_{l,m}^* = (-1)^m Y_{l,-m}$ 易证这里的复共轭可以加在任意一个球谐函数上.
2. 由 $Y_{l,m}(-\uvec k) = (-1)^l Y_{l,m}(\uvec k)$ 易得 $\bra{\bvec k}$.
3. 这里不作证明
致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者
热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)