图

平面波的球谐展开

预备知识 球谐函数

   复数形式的平面波可以展开为12

\begin{equation} \ket{\bvec k} = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\E^{\I \bvec k \vdot \bvec r} = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^l \I^l Y_{lm}^*(\uvec k) \sqrt{\frac{2}{\pi}} j_l(kr) Y_{lm}(\uvec r) \end{equation}
其中正交归一的球面波
\begin{equation} \ket{s_{l,m}(k)} = s_{l,m}(k,\bvec r) = \frac{1}{r}\sqrt{\frac{2}{\pi}}kr j_l(kr) Y_{lm}(\uvec r) \end{equation}
平面波式 1 可以表示为相同能量球面波的线性组合3
\begin{equation} \ket{\bvec k} = \sum_{l,m}\frac{\I^l}{k} Y_{lm}^*(\uvec k)\ket{s_{l,m}(k)} \end{equation}

   顺带一提, 三维空间的单位算符是

\begin{equation} \int_0^\infty \dd{k} \sum_{l,m} \ket{s_{l,m}(k)}\bra{s_{l,m}(k)} \end{equation}
就像一维傅里叶变换可以表示为
\begin{equation} \ket{f} = \int_{-\infty}^{\infty} \dd{k} \ket{k}\braketTwo{k}{f} \end{equation}
其中 $\ket{k} = \expRound{\I kx}/\sqrt{2\pi}$.

   特殊地, 如果平面波的方向指向极轴($\theta = 0$), 由对称性, 我们只需要 $m = 0$ 的球面波即可组成平面波. 将 $\theta = 0$ 代入式 1

\begin{equation} \E^{\I kz} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1) \I^l j_l(kr) P_l(\cos\theta) \end{equation}

球谐展开函数的傅里叶变换

   若三维函数具有球谐展开的形式

\begin{equation} f(\bvec r) = \frac{1}{r}\sum_{l,m} u_{lm}(r) Y_l^m(\uvec r) \end{equation}
要做傅里叶变换
\begin{equation} g(\bvec k) = \braketTwo{\bvec k}{f} = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int f(\bvec r) \E^{-\I \bvec k \bvec r} \dd[3]{r} \end{equation}
式 3 代入上式得
\begin{equation} g(\bvec k) = \frac{1}{k} \sum_{l,m} g_{l,m}(k) Y_l^m(\uvec k) \end{equation}
其中
\begin{equation} g_{l,m}(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \I^{-l} \int_0^{+\infty} u_{lm}(r) kr j_l(kr) \dd{r} \end{equation}

例1 类氢原子基态的动量谱

   类氢原子基态的波函数为(见式 2 , 使用原子单位)

\begin{equation} \psi(\bvec r) = \frac{Z^{3/2}}{\sqrt\pi} \E^{-Zr} \end{equation}
显然只有 $l = 0, m = 0$ 球谐项. 而 $Y_{0,0} = 1/\sqrt{4\pi}$, 所以径向波函数为
\begin{equation} R_{00}(r) = 2 Z^{3/2} \E^{-Zr} \end{equation}
所以傅里叶变换为(注意 $j_0(x) = \sin x/x$)
\begin{equation} g(\bvec k) = \frac{\sqrt{2}}{k\pi} \int_0^\infty \E^{-r} \sinRound{kr} r \dd{r} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi(k^2+1)^2} \end{equation}
\begin{equation} g(\bvec k) = \qtyRound{\frac{2}{Z}}^{3/2} \frac{1}{\pi(k^2/Z^2 + 1)^2} \end{equation}
我们也可以将沿 $z$ 轴正方向的三维平面波用球坐标表示(不使用球谐函数), 再在球坐标中与波函数积分, 结果相同.


1. 由 $Y_{l,m}^* = (-1)^m Y_{l,-m}$ 易证这里的复共轭可以加在任意一个球谐函数上.
2. 由 $Y_{l,m}(-\uvec k) = (-1)^l Y_{l,m}(\uvec k)$ 易得 $\bra{\bvec k}$.
3. 这里不作证明

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