图

平面波的球谐展开

         

预备知识 平面波, 球谐函数

   复数形式的平面波可以展开为12

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^l \mathrm{i} ^l Y_{lm}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \sqrt{\frac{2}{\pi}} j_l(kr) Y_{lm}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
可以证明, 一组正交归一的基底为(见 “径向函数的归一化”)
\begin{equation} \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle = s_{l,m}(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r}\sqrt{\frac{2}{\pi}}kr j_l(kr) Y_{lm}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
平面波式 1 可以表示为相同能量球谐波的线性组合3
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \sum_{l,m}\frac{ \mathrm{i} ^l}{k} Y_{lm}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle \end{equation}

   $ \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle $ 的完备性可以表示为

\begin{equation} \int_0^\infty \,\mathrm{d}{k} \sum_{l,m} \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle \left\langle s_{l,m}(k) \right\rvert = I \end{equation}
就像一维傅里叶变换可以表示为
\begin{equation} \left\lvert f \right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \,\mathrm{d}{k} \left\lvert k \right\rangle \left\langle k \middle| f \right\rangle \end{equation}
其中 $ \left\lvert k \right\rangle = \exp\left( \mathrm{i} kx\right) /\sqrt{2\pi}$.

   特殊地, 如果平面波的方向指向极轴($\theta = 0$), 由对称性, 我们只需要 $m = 0$ 的球谐波即可组成平面波. 将 $\theta = 0$ 代入式 1

\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kz} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1) \mathrm{i} ^l j_l(kr) P_l(\cos\theta) \end{equation}

球谐展开函数的傅里叶变换

   若三维函数具有球谐展开的形式

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r}\sum_{l,m} u_{lm}(r) Y_l^m( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
要做傅里叶变换
\begin{equation} g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| f \right\rangle = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}^{3}{r} \end{equation}
式 3 代入上式得
\begin{equation} g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \frac{1}{k} \sum_{l,m} g_{l,m}(k) Y_l^m( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \end{equation}
其中
\begin{equation} g_{l,m}(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{i} ^{-l} \int_0^{+\infty} u_{lm}(r) kr j_l(kr) \,\mathrm{d}{r} \end{equation}

例1 类氢原子基态的动量谱

   类氢原子基态的波函数为(见式 2 , 使用原子单位)

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{Z^{3/2}}{\sqrt\pi} \mathrm{e} ^{-Zr} \end{equation}
显然只有 $l = 0, m = 0$ 球谐项. 而 $Y_{0,0} = 1/\sqrt{4\pi}$, 所以径向波函数为
\begin{equation} R_{00}(r) = 2 Z^{3/2} \mathrm{e} ^{-Zr} \end{equation}
所以傅里叶变换为(注意 $j_0(x) = \sin x/x$)
\begin{equation} g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \frac{\sqrt{2}}{k\pi} \int_0^\infty \mathrm{e} ^{-r} \sin\left(kr\right) r \,\mathrm{d}{r} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi(k^2+1)^2} \end{equation}
\begin{equation} g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \left(\frac{2}{Z} \right) ^{3/2} \frac{1}{\pi(k^2/Z^2 + 1)^2} \end{equation}
我们也可以将沿 $z$ 轴正方向的三维平面波用球坐标表示(不使用球谐函数), 再在球坐标中与波函数积分, 结果相同.


1. 由 $Y_{l,m}^* = (-1)^m Y_{l,-m}$ 易证这里的复共轭可以加在任意一个球谐函数上.
2. 由 $Y_{l,m}(- \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) = (-1)^l Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} )$ 易得 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert $.
3. 这里不作证明

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