图

量子散射

预备知识 散射, 概率流密度

散射截面

  1散射截面 $\sigma$ 等于一定时间内被散射的粒子数除以单位截面入射的粒子数.那么从经典力学的角度,如果想象入射粒子流密度是均匀的, $\sigma$ 可以看做是一个障碍物(无远程作用)的最大横截面面积,微分截面 $ \mathrm{d}{\sigma}/\mathrm{d}{\Omega} $ 可以理解为单位立体角的散射截面.量子力学中,如果考虑单粒子以平面波入射,那么 $\sigma$ 等于被散射的概率流(概率/时间)除以入射的概率流密度(概率/时间/面积).概率流定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{ \mathrm{i} \hbar }{2m}(\psi \boldsymbol\nabla \psi^* - \psi^* \boldsymbol\nabla \psi ) \end{equation}
微分截面(differential cross section) 是能量的函数, 可以用概率流定义为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} = \lim_{r\to\infty} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{j}} _{out} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) r^2}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{j}} _{in} \right\rvert } \end{equation}
散射截面(scattering cross section)
\begin{equation} \sigma = \int \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} \,\mathrm{d}{\Omega} \end{equation}

   在三维情况下, 每个能量 $E$ 都是无穷维简并的. 且根据不同的边界条件我们可以获得不同的正交归一基底. 常见的边界条件如平面波入射. 这是一种物理意义较强的选择, 因为如果一个无穷远处的入射波包具有很窄的能量带宽, 我们就可以把它近似看作是平面波2. 平面波经过散射后, 会向各个方向发射球面波. 于是规定波函数的边界条件为(以下用箭头表示 $r\to\infty$ 时函数的渐进形式)

\begin{equation} \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^{(+)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \rightarrow (2\pi)^{-3/2} \left[ \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) + f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \frac{ \exp\left( \mathrm{i} k r\right) }{r} \right] \end{equation}
$f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 是散射幅. 满足该边界条件的波函数也会满足正交归一条件
\begin{equation} \int \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}^{(+)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )^* \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^{(+)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} = \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} ') \end{equation}
式 4 带入式 2 可得微分截面就是散射幅的模方
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} = \left\lvert f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2 \end{equation}

光学定理

   由概率守恒对散射幅的约束, 可以得出光学定理(Optical Theorem)

\begin{equation} \sigma = \frac{4\pi}{k} \operatorname{Im} [f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} )] \end{equation}
理解: 球面波往其他方向发射出去的总概率流等于在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $ 方向抵消的概率流.

分波展开

预备知识 球坐标中的薛定谔方程

   除了式 4 的边界条件外, 我们也可以找到符合另一种常用边界条件的正交归一散射态, 每个能量同样由无穷维简并.

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \rightarrow 0 \end{equation}
我们在球坐标中解方程. 先讨论简单的情况, 即势能为中心势能 $V(r)$, 则薛定谔方程可分离变量
\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r} \sum_l u_l(r) Y_{l,0}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
其中每一项就是一个分波, 满足上述边界条件. 在实际计算中我们一般使用球坐标. 因为在中心势能 $V(r)$ 下, 薛定谔方程可以在球坐标中分离变量, 使解偏微分方程变为解常微分方程, 即径向方程
\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi_{l,m}}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + \left[V(r) + \frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l + 1)}{r^2} \right] \psi_{l,m} = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \psi_{l,m} \end{equation}

相移

   如果 $V(r)$ 比库仑势能下降得快, 即

\begin{equation} \lim_{r\to\infty} r V(r) = 0 \end{equation}
那么可以证明无穷远处 $V(r)$ 对相位的影响可以忽略. $u_l(r)$ 得渐进表达式就完全可以由相移(phase shift) $\delta_l$ 来描述. 由于微分截面也是在无穷远处定义的, 我们可以直接由相移计算微分截面.

   我们定义相移满足

\begin{equation} u_l(k, r) \to \sin \left[kr - \frac{l\pi}{2} + \delta_l \right] \end{equation}
为什么这么定义呢? 因为相移是相对的, 我们把 $V(r) \equiv 0$ 时的相位作为基准
\begin{equation} u_l(k, r) = kr j_r(kr) \to \sin \left[kr - \frac{l\pi}{2} \right] \end{equation}
可以证明, 将球面波叠加得到式 4 形式后散射幅为
\begin{equation} f(k, \theta) = \sum_{l=0}^\infty f_l(k) P_l(\cos\theta) \end{equation}
\begin{equation} f_l(k) = \frac{2l+1}{k} \exp\left( \mathrm{i} \delta_l\right) \sin\delta_l \end{equation}
总截面也可以表示为每个分波的截面之和
\begin{equation} \sigma(k) = \int \left\lvert f(k,\theta) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\Omega} = \sum_{l=0}^\infty \sigma_l(k) \end{equation}
\begin{equation} \sigma_l(k) = \frac{4\pi}{2l+1} \left\lvert f_l(k) \right\rvert ^2 = \frac{4\pi}{k^2} (2l + 1) \sin^2 \delta_l \end{equation}

散射矩阵

   定义 $S$ 矩阵(虽然叫矩阵, 其实是一系列函数)为

\begin{equation} S_l(k) = \exp\left(2 \mathrm{i} \delta_l\right) \end{equation}
定义 $K$ 矩阵为
\begin{equation} K_l(k) = \tan \delta_l \end{equation}
二者关系为
\begin{equation} S_l(k) = \frac{1 + \mathrm{i} K_l(k)}{1 - \mathrm{i} K_l(k)} \end{equation}

推导散射截面和相位的关系

预备知识 平面波的球谐展开

   存在一组变换系数 $c_l$ 使

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \rightarrow \frac{1}{kr} \sum_l c_l \sin\left(kr - \frac{\pi l}{2} + \delta_l\right) Y_{l,0}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
满足边界条件式 4 . 令式 4 中散射幅为
\begin{equation} f(k,\theta) = \sum_l (2l + 1) a_l(k) P_l(\cos \theta) \end{equation}
假设我们已经在球坐标中解出了 $\psi_{k,l}$,即径向波函数 $R_{k,l}(r)$ 与相移, 如何获得 $f(k,\theta )$,即系数 $a_l(k)$ 呢? 把 $\psi_k$ 用 $\psi_{k,l}$ 基底展开,即对 $P_l$ 展开,再逐项对比系数即可. 首先展开平面波
\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kz} = \sum_{l = 0}^\infty \mathrm{i} ^l (2l + 1) j_l(kr) P_l(\cos \theta) \rightarrow \sum_{l=0}^\infty (2l + 1)\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} (kr - l\pi)}}{2 \mathrm{i} kr} P_l(\cos \theta) \end{equation}
式 22 式 23 代入式 4 , 再逐项与式 21 对比,得
\begin{equation} a_l(k) = \frac{1}{k} \sin\delta_l \exp\left( \mathrm{i} \delta_l\right) \end{equation}
再次带入式 22 可得散射幅与相移的关系.


1. 本文参考 Physics of Atoms and Molecules, Bransden
2. 如果不是, 那么入射波包可以由这些散射态叠加而成, 之后的时间演化就是这些散射态分别乘以 $ \exp\left(- \mathrm{i} E t\right) $ 再叠加. 但由于这时能量没有精确的定义, 我们不能讨论微分截面关于能量的函数.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利