量子散射(单粒子弹性)

                     

贡献者: addis

预备知识 1 散射,概率流密度

1. 散射截面

  1本文使用原子单位制。散射截面 $\sigma$ 等于一定时间内被散射的粒子数除以单位截面入射的粒子数。那么从经典力学的角度,如果想象入射粒子流密度是均匀的,$\sigma$ 可以看做是一个障碍物(无远程作用)的最大横截面面积,微分截面 $ \mathrm{d}{\sigma}/\mathrm{d}{\Omega} $ 可以理解为单位立体角的散射截面。量子力学中,如果考虑单粒子以平面波入射,那么 $\sigma$ 等于被散射的概率流(概率/时间)除以入射的概率流密度(概率/时间/面积)。概率流定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{ \mathrm{i} }{2m}(\psi \boldsymbol\nabla \psi^* - \psi^* \boldsymbol\nabla \psi )~. \end{equation}
微分截面(differential cross section) 是能量的函数,可以用概率流定义为(假设散射是轴对称的)
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} = \lim_{r\to\infty} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{j}} _{out} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) r^2}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{j}} _{in} \right\rvert }~, \end{equation}
对所有方向积分得总散射截面(scattering cross section)
\begin{equation} \sigma = \int \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} \,\mathrm{d}{\Omega} ~. \end{equation}

2. 短程势的边界条件

   在三维情况下,每个能量 $E$ 的本征函数都是无穷维简并的。且根据不同的边界条件我们可以获得不同的正交归一基底。常见的边界条件如平面波入射。这是一种物理意义较强的选择,因为如果一个无穷远处的入射波包具有很窄的能量带宽,我们就可以把它近似看作是平面波2。平面波经过散射后,会向各个方向发射球面波。于是规定波函数的边界条件为(以下用箭头表示 $r\to\infty$ 时函数的渐进形式)

\begin{equation} \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^{(+)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \rightarrow (2\pi)^{-3/2} \left[ \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) + f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \frac{ \exp\left( \mathrm{i} k r\right) }{r} \right] ~, \end{equation}
$f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 是散射幅。注意该边界条件只能对短程势能使用,即满足
\begin{equation} \lim_{r\to\infty} r V(r) = 0~ \end{equation}
的势能,原因见下文。显然库仑势能不属于短程势,我们将在 “库仑散射” 讨论。满足边界条件式 4 的波函数也会满足正交归一条件
\begin{equation} \int \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}^{(+)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )^* \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^{(+)}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} = \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} ')~. \end{equation}
式 4 代入式 2 可得微分截面就是散射幅的模方
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\Omega}} = \left\lvert f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2~. \end{equation}

3. 光学定理

   由概率守恒对散射幅的约束,可以得出光学定理(Optical Theorem)

\begin{equation} \sigma = \frac{4\pi}{k} \operatorname{Im} [f(k, \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} )]~. \end{equation}
光学定理的物理意义是:球面波往其他方向发射出去的总概率流等于在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $ 方向抵消的概率流。
未完成:证明见 [48] 习题 12.2

4. 分波展开

预备知识 2 球坐标中的薛定谔方程

   除了式 4 的边界条件外,我们也可以找到符合另一种常用边界条件的正交归一散射态,即要求每个散射态同时是能量和角动量 $L^2, L_z$ 的本征态。这与 “氢原子的定态波函数” 类似,只是我们要求能量 $E > 0$。

   这时每个能量同样有无穷维简并。我们在球坐标中解方程。先讨论简单的情况,即势能为中心势能 $V(r)$,薛定谔方程可以在球坐标中分离变量,使波函数表示为

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r} \sum_l c_l \psi_{l,m}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~, \end{equation}
其中每一项被称为一个分波(partial wave),满足上述边界条件。因为在中心势能 $V(r)$ 下,使解偏微分方程变为解常微分方程,即径向方程
\begin{equation} -\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi_{l,m}}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + \left[V(r) + \frac{l(l + 1)}{2mr^2} \right] \psi_{l,m} = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \psi_{l,m}~. \end{equation}
未完成:这一段讲解有点问题,要说明我们只需要 $m = 0$

5. 相移

   对于短程势能 $V(r)$,即

\begin{equation} \lim_{r\to\infty} r V(r) = 0~. \end{equation}
可以证明3短程势能在无穷远处对相位的影响可以忽略。$\psi_l(r)$ 的渐进表达式就完全可以由相移(phase shift) $\delta_l$ 来描述。由于微分截面也是在无穷远处定义的,我们可以直接由相移计算微分截面

   我们定义相移 $\delta_l$ 满足

\begin{equation} \psi_l(k, r) \to \sin \left(kr - \frac{l\pi}{2} + \delta_l \right) ~. \end{equation}
为什么这么定义呢?因为相移是相对的,我们把 $V(r) \equiv 0$ 时的相位作为基准
\begin{equation} \psi_l(k, r) = kr j_r(kr) \to \sin \left(kr - \frac{l\pi}{2} \right) ~, \end{equation}
可以证明(使用式 1 式 4 中的平面波展开,再对比系数),将球面波叠加得到式 4 形式后散射幅为
\begin{equation} f(k, \theta) = \sum_{l=0}^\infty f_l(k) P_l(\cos\theta)~, \end{equation}
\begin{equation} f_l(k) = \frac{2l+1}{k} \exp\left( \mathrm{i} \delta_l\right) \sin\delta_l~. \end{equation}
注意这与 $\phi$ 无关,$f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 是一个轴对称的分布。总截面也可以表示为每个分波的截面之和
\begin{equation} \sigma(k) = \int \left\lvert f(k,\theta) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\Omega} = \sum_{l=0}^\infty \sigma_l(k)~, \end{equation}
\begin{equation} \sigma_l(k) = \frac{4\pi}{2l+1} \left\lvert f_l(k) \right\rvert ^2 = \frac{4\pi}{k^2} (2l + 1) \sin^2 \delta_l(k)~. \end{equation}
这说明,散射截面只和相移 $\delta_l(k)$ 有关。数学上可以证明对应同一列 $\delta_l(k)$ 的势能并不是唯一的。

   最后,容易证明

\begin{equation} \sigma(k) = \frac{4\pi}{k} \operatorname{Im} f(k,\theta=0)~. \end{equation}
这说明入射方向的概率流减少等于被散射的概率流概率流,也被称为光学定理(optical theorem)

6. 散射矩阵

   定义 $S$ 矩阵(虽然叫矩阵,其实是一列函数)为

\begin{equation} S_l(k) = \exp\left(2 \mathrm{i} \delta_l\right) ~, \end{equation}
定义 $K$ 矩阵为
\begin{equation} K_l(k) = \tan \delta_l~, \end{equation}
二者关系为
\begin{equation} S_l(k) = \frac{1 + \mathrm{i} K_l(k)}{1 - \mathrm{i} K_l(k)}~. \end{equation}
称为矩阵的原因是,在多通道散射(未完成)中,需要考虑从不同通道入射和出射的情况,这些量就成为了矩阵,每个矩阵元都是一个函数。

7. 推导散射截面和相位的关系

预备知识 3 平面波的球谐展开

   存在一组变换系数 $c_l$ 使

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \rightarrow \frac{1}{kr} \sum_l c_l \sin\left(kr - \frac{\pi l}{2} + \delta_l\right) Y_{l,0}( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~ \end{equation}
满足边界条件式 4 。令式 4 中散射幅为
\begin{equation} f(k,\theta) = \sum_l (2l + 1) a_l(k) P_l(\cos \theta)~. \end{equation}
假设我们已经在球坐标中解出了 $\psi_{k,l}$,即径向波函数 $R_{k,l}(r)$ 与相移,如何获得 $f(k,\theta )$,即系数 $a_l(k)$ 呢?把 $\psi_k$ 用 $\psi_{k,l}$ 基底展开,即对 $P_l$ 展开,再逐项对比系数即可。首先展开平面波
\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kz} = \sum_{l = 0}^\infty \mathrm{i} ^l (2l + 1) j_l(kr) P_l(\cos \theta) \rightarrow \sum_{l=0}^\infty (2l + 1)\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} (kr - l\pi)}}{2 \mathrm{i} kr} P_l(\cos \theta)~. \end{equation}
式 23 式 24 代入式 4 ,再逐项与式 22 对比,得
\begin{equation} a_l(k) = \frac{1}{k} \sin\delta_l \exp\left( \mathrm{i} \delta_l\right) ~, \end{equation}
再次代入式 23 可得散射幅与相移的关系。

   也可以得到系数

\begin{equation} c_{l,m}^{(\pm)} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{i} ^l \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \delta_l} Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} )~, \end{equation}
这比平面波的球谐展开多了一个相位因子 $ \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \delta_l}$。

   散射的边界条件可以有两种,用 $\pm$ 区分。

未完成:有待数值验证
\begin{equation} \begin{aligned} & \left\lvert \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^{(\pm)} \right\rangle = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}[ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } + f^{(\pm)}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} kr}]\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sum_{l=0}^{\infty} \mathrm{i} ^l \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \delta_l} j_l(kr + \delta_l) \sum_{m=-l}^l Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~. \end{aligned} \end{equation}


1. ^ 本文参考 [48][49] 相关章节。
2. ^ 如果不是,那么入射波包可以由这些散射态叠加而成,之后的时间演化就是这些散射态分别乘以 $ \exp\left(- \mathrm{i} E t\right) $ 再叠加。但由于这时能量没有精确的定义,我们不能讨论微分截面关于能量的函数。
3. ^ 不严谨的证明:无穷远处相位的变化约等于 $\int_0^\infty [V(r) - l(l+1)/(2mr^2)] \,\mathrm{d}{r} $,只要满足 $rV(r) \to 0$ 这个积分就收敛。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利