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偏导数

预备知识 导数

   对一个多元函数 $y = f(x_1, x_2 \dots x_i \dots)$,如果求导时只把 $x_i$ 看成自变量,剩下的 $x_{j \ne i}$ 都看做常数,得到的导数就叫函数(关于 $x_i$)的偏导数. 以二元函数 $z=f(x,y)$ 为例,对 $x$ 的偏导数常记为

\begin{equation} \pdvTwo{z}{x} \qquad \pdvTwo{f}{x} \qquad f_x \qquad \qtyRound{\pdvTwo{f}{x}}_y \end{equation}
最后一种记号在括号右下角声明了保持不变的自变量,这在许多情况下能避免混淆.

例1 

   对于函数 $f(x,y) = x^2 + 2 y^2 + 2xy$, 两个偏导数分别为

\begin{equation} \pdvTwo{f}{x} = 2x + 2y \qquad \pdvTwo{f}{y} = 4y + 2x \end{equation}

例2 

   对于函数 $z = \sinRound {y\cos x} + \cos ^2 x$

\begin{align} \pdvTwo{z}{x} &= - y\cosRound {y\cos x}\sin x - 2\cos x\sin x = - y\cosRound {y\cos x}\sin x - \sin 2x\\ \pdvTwo{z}{y} &= \cosRound {y\cos x}\cos x \end{align}

几何意义

   类比导数的几何意义(曲线的斜率), 若在三维直角坐标系中画出曲面 $f(x,y)$,则 $\pdvStarTwo{f}{x}$ 和 $\pdvStarTwo{f}{y}$ 分别是是某点处曲面延 $x$ 方向和 $y$ 方向的斜率.所以从某点 $(x_0, y_0)$ 延 $x$ 方向移动一个微小量 $\Delta x$,假设曲面平滑,则函数值增加

\begin{equation} \Delta f \approx \pdvTwo{f}{x}\Delta x \end{equation}
写成微分关系就是
\begin{equation} \dd{f} = \pdvTwo{f}{x} \dd{x} \quad (y\, \text{不变}) \end{equation}

高阶偏导

   与一元函数的高阶导数类似,多元函数也可以求高阶偏导数,不同的是,由于每求一次偏导都需要指定对哪个变量.例如二元函数 $f(x,y)$ 的二阶偏导有

\begin{equation} \pdvTwo[2]{f}{x} \qquad \pdvThree{f}{x}{y} \qquad \pdvThree{f}{y}{x} \qquad \pdvTwo[2]{f}{y} \end{equation}
若高阶偏导的分母中出现不止一个变量,我们就称其为混合偏导.混合偏导的一个重要性质就是偏导的顺序可以任意改变,例如上式中有 $\pdvStarThree{f}{x}{y} = \pdvStarThree{f}{y}{x}$. 这点本书不做证明,可以通过以上的例子验证.

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