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平面波

预备知识 矢量内积, 简谐振子

   我们先来看一个一维的平面波, 一个常用的例子是一根无限长的弦, 静止的时候弦与 $x$ 轴重合, 任何时刻 $t$, 弦的波函数(即形状)可以用 $y(x, t)$ 来描述. 若

\begin{equation} y(x, t) = A\cosRound{k x - \omega t + \varphi_0} \end{equation}
则我们把这个波函数称为平面波, 如图 1 所示1

图
图1:平面波

   我们定义图中的 $A$ 为振幅, 定义一个周期2波长, 记为 $\lambda$. 与波长一一对应的一个量是式 1 中的 $k$, 称为波数. 波长与波数的关系可以类比简谐振子 的角频率 $\omega$ 与周期 $T$ 的关系, 即

\begin{equation} k = \frac{2\pi}{\lambda} \end{equation}

   我们再来看波函数随时间的变化, 如果在弦的某个位置做一个标记并观察其运动, 则式 1 中 $x$ 可视为常数, 我们立即得到一个简谐振动, 角频率为 $\omega$, 初相位为3 $-kx - \varphi_0$.

   我们在观察平面波的时候, 通常会想象它在移动(虽然弦上每个点的 $x$ 坐标并不改变), 我们把这种移动的速度叫做波速 $v$. 把式 1 稍作整理得

\begin{equation} y(x, t) = A\cos \qtySquare{k \qtyRound{x - \frac{\omega}{k} t} + \varphi_0} \end{equation}
由于函数 $f(x - x_0)$ 可以看做 $f(x)$ 向 $x$ 轴正方向平移 $x_0$ 得到的函数, 上式也可以看做 $t = 0$ 时刻的波函数向 $x$ 轴正方向平移 $\omega t/k$ 得到的波函数. 将平移距离除以 $t$ 就得到了单位时间移动的距离, 即波速
\begin{equation} v = \frac{\omega}{k} \end{equation}
如果将 $\omega = 2\pi/T$ 和 $k = 2\pi/\lambda$ 代入上式, 得到波速的另一个表达式
\begin{equation} v = \frac{\lambda}{T} \end{equation}
这里的 $T$ 是振动周期. 也可以令振动频率 $f = 1/T$, 则上式又变为
\begin{equation} v = \lambda f \end{equation}

横波与纵波

   以上我们看到的波函数表示横波, 即质点振动的方向与波的传播方向垂直. 与横波相对的另一类波叫做纵波, 即质点振动方向与波的传播方向相同. 纵波的波函数与横波相同, 只是因变量的意义由垂直方向的位移改为了平行方向的位移(不妨记为 $\xi$)

\begin{equation} \xi = A \cosRound{k x - \omega t + \varphi_0} \end{equation}

二维和三维的平面波

图
图2:二维平面波

   如图 2 , 我们可以用函数 $z(x,y,t)$ 表示一个二维的平面波(横波). 波长的定义与一维情况相同, 在 $k = 2\pi/\lambda$ 的基础上, 我们定义波矢 $\bvec k$ 的方向为波速的方向. 观察图中的波可以发现, 沿波矢方向移动 $l$, 相位变化为 $kl$, 沿垂直波矢方向移动 $l$, 相位不改变, 沿任意其他方向移动 $l$, 相位变化为 $kl\cos\theta$, 其中 $\theta$ 是移动方向与 $\bvec k$ 方向的夹角. 于是我们可以用内积来表示相位随空间的变化

\begin{equation} \Delta\varphi = \bvec k \vdot \Delta\bvec r = k_x \Delta x + k_y \Delta y \end{equation}
于是我们可以写出波函数为
\begin{equation} z = A \cosRound{\bvec k \vdot \bvec r - \omega t + \varphi_0} \end{equation}
要表示纵波, 同样把 $z$ 换位 $\xi$ 即可.

   类似地, 三维空间中的平面波可表示为

\begin{equation} \bvec s = \bvec A \cosRound{\bvec k \vdot \bvec r - \omega t + \varphi_0} \end{equation}
其中 $\bvec k$ 和 $\bvec r$ 是三维矢量. 注意这里的 $\bvec r$ 表示介质静止时某质点的位矢. 如果波函数表示横波, 矢量振幅 $\bvec A$ 必须垂直于波矢 $\bvec k$, 其方向叫做极化方向. 如果波函数表示纵波, $\bvec A$ 必须与 $\bvec k$ 同向.

波函数的复数表示

预备知识 振动的指数形式

   用复数表示波函数,往往可以化简书写和计算. 类比式 3 , 我们可以把平面波表示为指数形式4

\begin{equation} \tilde {\bvec s} = \bvec A \E^{\I( \bvec k \vdot \bvec r - \omega t + \varphi_0)} \end{equation}
注意只有实部表示质点的位移, 虚部无物理意义.


1. 需要注意的是,图中的横轴是位置 $x$ 而不是时间 $t$, 要避免将质点振动的位移—时间图与该图混淆.
2. 不是时间周期而是空间周期
3. 由于余弦函数是偶函数, 我们不妨将 $\cos$ 的自变量取相反数使 $\omega t$ 的符号为正.
4. 现在我们知道为什么振动的指数形式中 $\omega t$ 要带一个负号了, 这样就可以让波动的指数形式中 $\bvec k\vdot \bvec r$ 项为正.

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