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含连续态的微扰理论

预备知识 不含时微扰理论

   一般的束缚+连续微扰理论. 假设我们有两个束缚态和连续态, 总的波函数可以写成

\begin{equation} \left\lvert \psi \right\rangle = C_1 \left\lvert 1 \right\rangle + C_2 \left\lvert 2 \right\rangle + \int \phi ( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle \,\mathrm{d}^{3}{k} \end{equation}
令归一化条件为 $ \left\langle 1 \middle| 1 \right\rangle = \left\langle 2 \middle| 2 \right\rangle = 1$, $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \delta ^3 ( \boldsymbol{\mathbf{k}} ' - \boldsymbol{\mathbf{k}} )$, $\rm{otherwise} = 0$.

   $ \boldsymbol{\mathbf{H}} '$ 矩阵可以想象成是这个样子的

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图1:$ \boldsymbol{\mathbf{H}} '$ 矩阵的结构

   方格子代表 $C_{ij} = \left\langle i \right\rvert H' \left\lvert j \right\rangle $, 横条代表 $H_{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} '} = \left\langle i \middle| H' \middle| k' \right\rangle $, 纵条代表 $H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} j} = \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| H' \middle| j \right\rangle $.

   与离散的情况相似, 微扰理论的推导方法是先把 $ \left\lvert \psi \right\rangle $ 代入含时薛定谔方程, 然后两边分别左乘基底 $ \left\langle i \right\rvert $ 和 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rvert $, 注意后者这里要使用动量归一化条件把对 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 的积分消去. 微扰递推公式为

\begin{equation} C_i^{(n + 1)}(t) = \frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} \int \,\mathrm{d}{t'} \left(\sum_{j \ne i} H'_{ij} C_j^{(n)} + \int H_{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} '} \phi ^{(n)} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} ') \,\mathrm{d}^{3}{k'} \right) \end{equation}
\begin{equation} \phi^{(n+1)}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} \int \,\mathrm{d}{t'} \left(\sum_j H'_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} j} C_j^{(n)} + \int H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol{\mathbf{k}} '} \phi ^{(n)}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ') \,\mathrm{d}^{3}{k'} \right) \end{equation}
关于 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $ 的定义, 若势能函数是局部的, 那么在无穷远处波函数是平面波, 由此来定义 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $. 这样, 在计算 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $ 时, 由于积分范围是无穷, 可以忽略局部势能对波函数的影响, 所以归一化系数就是 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_x x} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_y y} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_z z}$ 的归一化系数即 $1/{(2\pi )^{3/2}}$.  

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