图

动量定理 动量守恒

预备知识 动量 动量定理(单个质点), 质点系

结论

   系统总动量的变化率等于合外力,所以合外力为零时系统总动量守恒.

推导

   任何系统都可以看做质点系,质点系中第 $i$ 个质点可能受到系统内力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in}$ 或系统外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out}$. 由单个质点的动量定理

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{p}} _i = \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out} \end{equation}
总动量的变化率为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = \sum_i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{p}} _i = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in} + \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out} \end{equation}
由“质点系” 中的结论, 上式右边第一项求和是系统合内力, 恒为零. 于是我们得到系统的动量定理
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out} \end{equation}
可见当和外力(即等式右边)为零时, 动量 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 不随时间变化, 也就是动量守恒

例1 静止原子核的转变

   一个原来静止的原子核,经放射性衰变,放出一个动量为 $9.22×10^{-16}{\rm g\cdot cm/s}$ 的电子,同时该核在垂直方向上又放出一个动量为 $5.33×10^{-16}{\rm g\cdot cm/s}$ 的中微子.问蜕变后原子核的动量的大小和方向.

   解:由于这个静止的原子核在蜕变的全过程中没有受到其他外力,所以对该原子核构成的系统,总动量守恒.即有 $$ \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm B}+ \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm e}+ \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm \nu}=0$$ 即有 $$p_{\rm B}=| \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm B}|=|- \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm e}- \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm \nu}|=\sqrt{p_{\rm e}^{2}+p_{\rm \nu}^{2}}=10.65×10^{-16}{\rm g\cdot cm/s}$$ $$\theta=\arctan\frac{5.33}{9.22}=30^\circ$$ (矢量图略)解毕.

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